Добавил:

ukusezha Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

МИРЭА - Российский технологический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

шамин с сдо

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

06.02.2025

Размер:

635.65 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1711 12 13 14 15 16 17 > Следующая >>>

					f(x)
a			n		x
f(x) = f(a) +		f′(a)	(x − a) +	f′′(a)	(x − a)2 + . . .
		1!		2!
· · · +	f(n)(a)		(x − a)n + o((x − a)n).
		n!

f(x) = Pn(x) + o((x − a)n),

Pn(x)

Pn(x) = A0 + A1(x − a) + A2(x − a)2 + · · · + An(x − a)n,

x = a

Pn(a) = A0 = f(a).

Pn′ (x) = A1 + 2A2(x − a) + · · · + nAn(x − a)n−1.

x = a

Pn′ (a) = A1 = f′(a).

Pn′′(a) = 2A2 = f′′(a).

	f(k)(a)
Ak =		, k = 0, 1, . . . , n.

	k!

f(x)

Rn(x) = f(x) − Pn(x).

Rn(a) = Rn′ (a) = · · · = Rn(n)(a) = 0.

lim Rn(x) .

x→a (x − a)n

lim Rn(x)

x→a (x − a)n

f(x) = f(0) +

	R′	(x)		Rn(n)(x)
= lim	n		lim
				n! = 0.
x→a n(x − a)n−1			= · · · = x→a

Rn(x) = o((x − a)n).

		a = 0
f′(0)		f′′(0)	2	f(n)(0)	n	n
	x +		x + · · · +		x + o(x ).
1!	x +	2!	x + · · · +	n!	x + o(x ).

f(x) = ex

a = 0

f(k)(x) = ex, f(k)(0) = 1,

ex = 1 +	x		x2		xn		+ o(xn).
		+		+ · · · +
	1!	+	2!	+ · · · +	n!
				SIN X
f(x) = sin x							a = 0
k
f(k)(x) = sin x + k						π	,

						2

f(0) = 0, f(2m)(0) = sin mπ = 0,

f(2m−1)(0) = sin mπ −

= (−1)m−1,

m = 1, 2, 3, . . . .

sin x = x

−

+ ( 1)m−1

x2m−1

+ o(x2m).

5! − · · ·

(2m

1)!

−

COS X

f(x) = cos x

a = 0

f(k)(x) = cos x + k

f(0) = 1, f(2m)(0) = (−1)m,

f(2m−1)(0) = 0, m = 1, 2, 3, . . . .

cos x = 1 −	x2		x4		m x2m			2m+1
		+		− · · · + (−1)			+ o(x		).
	2!		4!			(2m)!

	(1 + X)α
f(x) = (1 + x)α	α
a = 0	k

f(k)(x) = α(α − 1) . . . (α − k + 1)(1 + x)α−k ,

f(0) = 1, f(k)(0) = α(α − 1) . . . (α − k + 1).

(1+x)α = 1+αx+	α(α − 1)				x2+	· · ·			+		α(α − 1) . . . (α − n + 1)						xn+o(xn).
	2!															n!
																	n = 2
	1				= 1 − x + x2 + o(x2),

				1 + x
		√					1					1			2	2
			1 + x = 1 +
										x −				x + o(x ),
							2					8
	1				= 1 −		1					3			2	2
										x +					x + o(x ).
		√						2					8
			1 + x

LN(1 + X)

f(x) = ln(1+x)
a = 0		k
f(k)(x) =				(−1)k−1(k − 1)!		,
					(1 + x)k

f(0) = 0, f(k)(0) = (−1)k−1(k − 1)!.
		f(x) = ln(1 + x)
	x2		x3				xn
ln(1 + x) = x −		+			− · · · + (−1)k−1			+ o(xn).
	2		3				n

n + 1
	f(n)(x)	[a, x]
[x, a]	f(n+1)(x)	(a, x) x, a

Rn(f, x) = f(n+1)(a + θ(x − a)) (x − a)n+1,

(n + 1)!

0 < θ < 1

n = 0

f(x) = f(a) + f′(a + θ(x − a))(x − a).

n − 1

		n
		Rn(f, x)	=		Rn(f, x) − Rn(f, a)				=
	(x − a)n+1			(x − a)n+1 − (a − a)n+1

=		Rn−1(f′, ξ) n			=	(f′)(n)(η)	=	f(n+1)(η)		,
						(n + 1)n!		(n + 1)!
		(n + 1)(ξ − a)

a < η < ξ < x

						f(x) = ex
ex ≈ 1 +	x		x2		xn
		+		+ · · · +		.
	1!	+	2!	+ · · · +	n!	.
x = 1						e

n = 5

e ≈ 1 + 11 + 12 + 16 + 241 + 1201 ≈ 2.7167.

ln 2

ln(1 + x)

x = 1

n = 10

ln 2 ≈ 1 −

−

≈ 0.646.

ln 2 ≈ 0.693

ln(1 + x)

sin x

sin 0.1 ≈ 0.1 −

0.13

≈ 0.0998.

cos x

a = 0

4
		n = 6
2
0	cos x
	cos x
cosx
−2	n	= 4
	n	= 4
−4	n	= 2
	n	= 2
−6
	−4	−3	−2	−1	0	1	2	3	4
					x

lim

x→0 sin x − x

sin x

lim

= lim

−

)

x 0

sin x

−

x −

x 0

−

o(x

→

6 + o(x ) − x

→

lim

ln cos x

x→0 ex − x − 1

cos x ex	ln x
	ln cos x				ln(1	−	x22 + o(x3))
lim		= lim				−		=
lim		= lim				2		=
						2	+ o(x3) − x − 1
x→0 ex − x − 1 x→0 1 + x + x2							+ o(x3) − x − 1
				x22	+ o(x3)
		lim	−
		lim	2
	= x→0			x	+ o(x3)		= −1.
	= x→0			2	+ o(x3)		= −1.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1711 12 13 14 15 16 17 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
10.02.20231.44 Mб87Дзержинский. Дискретная математика.pdf
#
10.02.20232.32 Mб22Дискретная математика.pdf
#
09.02.20231.56 Mб2зад 2.docx
#
06.02.20251.86 Mб1тостер методичка с сдо.pdf
#
06.02.2025427.79 Кб3УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ в примерах и задачах-объединены.pdf
#
06.02.2025635.65 Кб1шамин с сдо.pdf