Добавил:

ukusezha Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

МИРЭА - Российский технологический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ в примерах и задачах-объединены

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

06.02.2025

Размер:

427.79 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 109 10 > Следующая >>>

ОТВЕТЫ К ПРИВЕДЕННЫМ ЗАДАЧАМ.

Типы уравнений 1.1. Эллиптический. 1.2. Гиперболический. 1.3. Параболический.

1.4. Эллиптический. 1.5. Гиперболический. 1.6. Гиперболический. 1.7. Параболический.1.8. Эллиптический. 1.9. Гиперболический. 1.10. Эллиптический. 1.11. Эллиптический. 1.12. Гиперболический.

1.13. ξ = 2y + x,

η = x,

эллиптический,

∂2u

= F (ξ, η, u, ∂u

∂u ).

∂ξ

∂η

∂ξ

∂η

1.14. ξ = 3x − 2y,

∂2u

∂u

η = 2x + y,

гиперболический,

= F (ξ, η, u,

, ∂η ).

∂ξ∂η

∂ξ

1.15. ξ = 5x + y,

η = x,

параболический,

∂2u2 = F (ξ, η, u, ∂u ,

∂u ).

∂η

∂ξ

∂η

1.16. ξ = ex,

η = y,

эллиптический, ,

∂2u

= F (ξ, η, u,

∂u ,

∂u ).

∂ξ

∂η

∂ξ

∂η

1.17. ξ = x

η = x,

∂2u

= F (ξ, η, u,

∂u

− 2e

параболический,

∂η2

∂ξ ,

∂η ).

гиперболический,

∂2u

∂u

1.18. ξ = y − x

η = x

+ y

= F (ξ, η, u, ∂ξ

∂η ).

∂ξ∂η

1.19. ξ = cosx + y3,

η = x,

параболический,

∂2u2

= F (ξ, η, u, ∂u , ∂u ).

∂η

∂ξ

∂η

1.20. ξ = xy,

η = 2x,

эллиптический,

∂2u

= F (ξ, η, u, ∂u , ∂u ).

∂ξ

∂η

∂ξ ∂η

− y

∂2u

∂2u ∂2u

1.21. ξ = 2e

η = x + y,

гиперболический,

= F (ξ, η, u, ∂ξ2

, ∂2η ).

∂ξ∂η

1.22. ξ = eycosx,

η = ey

∂2u

= F (ξ, η, u, ∂u

, ∂u ).

гиперболический,

∂ξ∂η

x ,

∂ξ

∂η

1.23. ξ = cosx − siny,

η = x,

∂2u

∂u

параболический,

∂η2

= F (ξ, η, u, ∂ξ

∂η ).

1.24. ξ = 2x − y,

∂2u

∂u

η = x + y ,

= F (ξ, η, u,

∂η ).

гиперболический,

∂ξ∂η

∂ξ

1.25. ξ = tgy − x,

η = x;

∂2u

∂u

параболический,

∂η2

= F (ξ, η, u, ∂ξ ,

∂η ).

1.26. ξ = cosy,

η = sinx;

эллиптический,

∂2u2 + ∂2u2

= F (ξ, η, u,

∂u ,

∂u ).

∂ξ

∂η

∂ξ

∂η

η = x,

∂2u

∂u

1.27. ξ = lny − x ,

параболический,

∂η2

= F (ξ, η, u, ∂ξ ,

∂η ).

1.28. ξ = y + ctgx,

η = x,

параболический,

∂2u2

= F (ξ, η, u, ∂u

, ∂u ).

∂η

∂ξ

∂η

1.29. ξ = 2y + e−2x,

η = e−2x,

эллиптический,

∂2u

= F (ξ, η, u,

∂u

∂u ).

∂ξ

∂η

∂ξ

∂η

1.30. ξ = ctgy,

η = tgx,

эллиптический,

∂2u2 +

∂2u2 = F (ξ, η, u, ∂u ,

∂u ).

∂ξ

∂η

∂ξ

∂η

1.31. ξ = ysinx,

η = x,

параболический,

∂2u2 = F (ξ, η, u, ∂u , ∂u ).

∂η

∂ξ ∂η

гиперболический,

∂2u

∂u

1.32. ξ = x − e

η = 2x − e

= F (ξ, η, u,

∂ξ ,

∂η ).

∂ξ∂η

1.33. ξ = y + 2

η =

эллиптический,

∂2u2 +

∂2u2

= F (ξ, η, u, ∂u

, ∂u ).

∂ξ

∂η

∂ξ

∂η

1.34. ξ = 2x − siny,

η = y,

∂2u

∂u

параболический,

∂ξ2

∂η2 = F (ξ, η, u,

∂ξ

∂η ).

1.35. ξ = y − lnsinx,

η = x,

∂2u

∂u

параболический,

∂η2 = F (ξ, η, u,

∂ξ ,

∂η ).

1.36. ξ = lncosy,

η = lnsinx,

эллиптический,

∂2u

= F (ξ, η, u, ∂u , ∂u ).

∂ξ

∂η

∂ξ

∂η

arctg xy

1.37. ξ = e

+ y

, η = x − y, гиперболический,

∂u

∂ u

= F (ξ, η, u,p

∂η

∂ξ∂η

∂ξ

1.38. ξ = xy,

η = 3y

èëè

ξ = lny + 21ln(x2 + 9),

η = arctgx3 , эллипти-

ческий,

∂2u2 +

∂2u2 = F (ξ, η, u, ∂u , ∂u ).

∂ξ

∂η

∂ξ

∂η

∂2u

∂u

1.39. ξ =

− lnx,

η = x − y,

гиперболический,

= F (ξ, η, u, ∂ξ ,

∂η ).

∂ξ∂η

1.40. ξ = xy + lnx,

η = x + y,

гиперболический,

∂2u

= F (ξ, η, u, ∂u , ∂u ).

∂ξ∂η

∂ξ

∂η

Канонический вид:

1.41. ξ = x − t, η = x,	∂2u	= 0.
	∂ξ∂η

1.42. ξ = x + y, η = y,	∂2u	= 0.
	2
	∂η

1.43. ξ = x + 2y, η = x, ∂∂η2u2 − 12 ∂u∂η = 0.

1.44. ξ = 4x + y, η = 2x + y, ∂ξ∂η∂2u − 12 ∂u∂ξ = 0.

1.45. ξ = x + y, η = x,	∂2u	+	∂2u	+ ∂u = 0.
1.45. ξ = x + y, η = x,	2	+	2	+ ∂u = 0.
	∂ξ		∂η	∂η

1.46. ξ = x − y, η = x + 3y,	∂2u	+	1	∂u	= 0.
	∂ξ∂η		4	∂η

1.47. ξ = 2y − x, η = y, ∂∂ξ2u2 + ∂∂η2u2 + ∂u∂η = 0.

1.48. ξ = x + 3y, η = x, ∂∂η2u2 + 13 ∂u∂η = 0.

1.49. ξ = x + 2y, η = 3x + 2y, ∂ξ∂η∂2u − 14 ∂u∂η = 0.

1.50. ξ = y − 3x, η = x, ∂∂η2u2 + ∂u∂η = 0.

1.51. ξ = x + 2y, η = 3x, ∂∂ξ2u2 + ∂∂η2u2 + 16(∂u∂ξ + ∂u∂η ) = 0.

1.52. ξ = 2x − y, η = x, ∂∂η2u2 + ∂u∂η = 0.

1.53. ξ = x − 5y, η = x − y,	∂2u	+	1	∂u	= 0.
	∂ξ∂η		4	∂η

1.54. ξ = x + y, η = x − y, ∂∂ξ2u2 + ∂∂η2u2 + 2∂u∂η = 0.

1.55. ξ = 2x + 3y, η = x, ∂∂η2u2 + 13 ∂u∂η = 0.

1.56. ξ = x + 2y, η = 2x + y,	∂2u	+	∂2u	+ 2	∂u = 0.
1.56. ξ = x + 2y, η = 2x + y,	2	+	2	+ 2	∂u = 0.
	∂ξ		∂η		∂η

1.57. ξ = x + 3y, η = 2x − y,	∂2u	+	∂u	= 0.
	∂ξ∂η		∂ξ

1.58. ξ = x + y,

η = y,

∂2u

+ (α + β)∂u

+ β

∂u

+ cu = 0.

∂η

∂ξ

∂η

1.59. ξ = x + y,

η = 3x − y,

∂2u

1 ∂u

= 0.

∂ξ∂η

2 ∂ξ

1.60. ξ = x + 3y,

η = x + y,

∂2u

1 ∂u

= 0.

∂ξ∂η

2 ∂η

1.61. ξ = xy, η = y

∂2u

= 0.

∂ξ∂η

1.62. ξ = ln(x + √

η = ln(y + p

∂2u

x2 + 1),

y2 + 1),

= 0.

∂ξ2

∂η2

η = y − x

∂2u

1.63. ξ = y + x

= 0.

∂ξ∂η

1.64. ξ = x3y,

η = y,

∂2u

∂u∂η = 0.

∂η2

3η

1.65. ξ = x + y

η = x − y

∂2u

= 0.

∂ξ∂η

1.66. ξ = x,

η = x + ey,

∂2u

+ ∂u

= 0.

∂ξ∂η

∂η

1.67. ξ = x + y2,

η = x,

∂2u

= 0.

∂η

∂2u

1 ∂u

1.68. ξ = x

− y

η = x

∂ξ2

+ ∂η2

∂ξ

∂η = 0.

ξ−η

2η

1.69. ξ = x + siny, η = x,

∂2u

+ η

∂u = 0.

∂η

η = x − y − cosx,

∂2u

ξ+η

∂u

−

∂u

1.70. ξ = x + y + cosx,

4cos

(

∂ξ ) = 0.

∂ξ∂η

∂η

1.71. ξ = x + cosy,

η = x,

∂2u

+ 1 ∂u = 0.

∂ξ∂η

η ∂η

∂2u

−

ξ ∂u

1.72. ξ = xy

η = x,

= 0.

∂η2

η2 ∂ξ

1.73. ξ = xtg

η = x,

∂2u

2ξ ∂u

2 ,

∂η2

ξ2+η2

∂ξ ;

1.74. ξ = tgy,

η = lnx,

∂2u

2ξ2 ∂u

∂ξ2

∂η2 +

∂ξ

= 0.

1+ξ2

1.75. ξ = x + cosy,

η = y,

∂2u

= 0.

∂η

1.76. ξ = e

− 2x,

η = e

− x,

∂2u

= 0.

∂ξ∂η

1.77. ξ = y2,

η = 4x,

∂2u

+ 1 ∂u = 0.

∂ξ

∂η

ξ ∂ξ

1.78. ξ = y2 + 2ex,

η = y,

∂2u

− η1 ∂u∂η = 0.

∂η2

∂2u

1 ∂u

1.79. ξ = y + x

, η = x

∂ξ2 +

∂η2

∂ξ

= 0.

4η

1.80. ξ = 4x3 − 3y2,

6η2

η = x,

∂∂ηu2

∂u∂η

= 0.

4η3−ξ

1.81. ξ = 2x + siny,

η = y,

∂2u

= 0.

∂η

∂2u + ∂2u + ∂ξ2 ∂η2

1.82. ξ = x + 2e−y, η = 2x,	∂2u	+	∂2u	= 0.
	2		2
	∂ξ		∂η

1.83. ξ = x + y + sinx, η = x − y − sinx,	∂2u		1	ξ+η		∂u	−	∂u
		+	4sin	2	(			∂ξ ) = 0.
	∂ξ∂η					∂η

1.84. ξ = ytg	x	η = y,	∂2u	−	2ξ ∂u		= 0.
	2 ,		∂η2		ξ2+η2	∂ξ

1.85. ξ = ychx, η = shx, ∂∂η2u2 + 1+1η2 (ξ ∂u∂ξ + η∂u∂ξ ) = 0.

1.86. ξ = ysinx, η = y,	∂2u	−	2ξ	∂u∂ξ = 0.
	∂η2		η2

1.87. ξ = x, η =

ξ = x − 2(−y)3 ,

23y32 ,

η = x + 2(−y)3

2 ,


1 ∂u			= 0,		y > 0,
3η		∂η	= 0,		y > 0,
	∂2u		−	1		(∂u∂ξ − ∂u∂η ) = 0, y < 0.
	∂ξ∂η		−	(η−	ξ)	(∂u∂ξ − ∂u∂η ) = 0, y < 0.

1.88. ξ = x,

η = 2√

∂2u2

∂u

+ 2α−1 ∂u = 0,

y > 0,

∂ξ

∂η

ξ = x

2√

, η = x + 2√

∂2u

α−21

(∂u

∂u ) = 0, y < 0.

−

∂ξ∂η

−

η−ξ

∂ξ

− ∂η

η = y

(x > 0,

y < 0),

1.89.

ξ = x2 ,

(x < 0,

y < 0),

ξ = (−x)2

η = (−y)2

∂2u

∂u

1 ∂u

∂ξ2

∂ξ +

∂η

= 0;

∂η2

3ξ

3η

(x < 0,

y > 0),

ξ = (−x)2

− y2

η = (−x)3 + y2

(x > 0,

y < 0),

ξ = x2

− (−y)2

η = x2

+ (−y)2

∂2u

∂u

(η

∂ξ − ξ

∂η ) = 0.

∂ξ∂η

η2−ξ2

1.90. ξ =

√

η = √

(x > 0,

y > 0),

ξ = √

η = √

−x

(x > 0, y > 0),

−y

∂2u

1 ∂u

= 0;

∂ξ2

+ ∂η2 −

ξ ∂ξ

− η ∂η

ξ = √

η = √y (x < 0,

y > 0),

−

ξ = √

η = √

(x < 0,

y > 0),

−y

∂2u

−

∂2u

− 1ξ ∂u∂ξ − η1 ∂u∂η = 0.

∂ξ2

∂η2

1.91.

à) u = ϕ(x − t) + ψ(x);

á) u = ϕ(x + y) + ψ(2x + y);

â) u = ϕ(x + 2y) + ψ(x + 2y)e2 ;

ã) u = ϕ(4x + y)ex+y2 + ψ(2x + y);

y−x

ä) u = ϕ(x − y) + ψ(x + 3y)e 4 ;

å) u = ϕ(x + 3y) + ψ(x + 3y)e−x3 ;

x+2y

æ) u = ϕ(x + 2y) + ψ(3x + 2y)e 4 ;

ç) u = ϕ(y

−

3x) + ψ(y

−

3x)e−x;

è) u = ϕ(2x

−

y) + ψ(2x

−

y)e−x;

ê) u = ϕ(x

−

5y)e−x−4 y + ψ(x

−

y);

ë) u = ϕ(2x + 3y) + ψ(2x + 3y)e−x3 ;

ì) u = ϕ(2x − y) + ψ(x + 3y)ey−2x;

í) u = ϕ(3x

−

y) + ψ(x + y)e−3x2−y ;

î) u = ϕ(x + 3y) + ψ(x + y)e−x+32 y ;

ï) u = ϕ(x) + ψ(x − ey)e−x;

ð) u = ϕ(x + cosy) 1 + ψ(x).

1.92. ξ = x + y, η = 5x − y,

∂2u

1 ∂u

= 0,

u = ϕ(x + y) + ψ(5x − y)e−

x+y

6 .

∂ξ∂η

6 ∂η

1.93. ξ = y,

η = y − cosx,

∂2u

− ∂u∂η = 0, u = ϕ(y) + ψ(y − cosx)ey.

∂ξ∂η

1.94. ξ = xy4,

η = y,

∂2u

− η3 ∂u∂ξ

= 0,

u = ϕ(xy4)y3 + ψ(y).

∂ξ∂η

∂2u

∂u

1.95. ξ = x

+ y, η = x,

− ∂η

= 0,

u = ϕ(x

+ y) + ψ(x

+ y)e

∂η2

1.96. ξ = xy,

η = y,

∂2u

− η1 ∂u∂ξ = 0,

u = yϕ(xy) + ψ(y).

∂ξ∂η

1.97.ξ = xy2,

η = x,

∂2u

− η1 ∂u∂ξ

= 0,

u = ϕ(xy2)x + ψ(x).

∂ξ∂η

1.98.ξ = x2 + y, η = x,

∂2u

− η1 ∂u∂η = 0, u = ϕ(x2 + y)x2 + ψ(x2 + y).

∂η2

1.99. ξ = x3y,

η = x,

∂2u

− η2 ∂u∂ξ

= 0,

u = ϕ(x3y)x2 + ψ(x).

∂ξ∂η

1.100. ξ = xy,

η = y,

∂2u

− η3 ∂u∂ξ

= 0,

u = ϕ(xy)y3 + ψ(y).

∂ξ∂η

1.101. ξ = y + sinx, η = x,

∂2u

− 2∂u∂η = 0, u = ϕ(ξ) + ψ(ξ)e2η.

∂η2


1.102. ξ = xy ,	η = y,	∂2u			− η1 ∂u∂ξ					= 0,
		∂ξ∂η
1.103. ξ = xy4,	η = x,			∂2u			+ 1			∂u = 0,
			∂ξ∂η
								η ∂ξ
1.104. ξ = xy,	η = y,		∂2u2			+ 1 ∂u = 0,
			∂η				η ∂η
1.105. ξ = xt,	η = xt ,		∂2u			−		1	∂u∂η = 0,
			∂ξ∂η					2ξ

u = ϕ(xy )y + ψ(y).

u = x1 ϕ(xy4) + ψ(x).

u = ϕ(xy)lny + ψ(xy).

	√
u = ϕ(xt) +	√	xtψ(x).
			t

1.106. ξ = xy3,	η = y,			∂2u	− η1 ∂u∂ξ			= 0,	u = ϕ(xy3)y + ψ(y).
		∂ξ∂η
		2				1			1
1.107. ξ = x,	η = xy3,			∂ u	−		∂u∂η = 0,		u = ϕ(x) + x3 ψ(xy3).
				∂ξ∂η		3ξ
1.108. ξ = xy2,	η = y,		∂2u		− η3 ∂u∂ξ			= 0,	u = ϕ(xy2)y3 + ψ(y).
			∂ξ∂η

η = x−y −cosx,

∂2u

1 ∂u

u = ϕ(ξ)e−

1.109. ξ = x+ y + cos,

2 ∂ξ

= 0,

2 + ψ(η).

∂ξ∂η

1.110.ξ = x + y + cosx,

η = x − y − cosx,

∂2u

= 0,

u = ϕ(ξ) + ψ(η).

∂ξ∂η

1.111. ξ = 2x − y + cosx,

η = 2x + y − cosx,

∂2u

= 0,

u = ϕ(η) + ψ(ξ).

∂ξ∂η

1.112. ξ = 2x − y + cosx,

η = 2x + y − cosx,

∂2u

1 ∂u

= 0,

∂ξ∂η

4 ∂ξ

u=ϕ(η) + ψ(ξ)e−η4 .

1.113. ξ = x2y,

η = xy,

∂2u

+ 1 ∂u = 0,

u =

ϕ(x2y) + ψ(xy).

∂ξ∂η

η ∂ξ

− η2 ∂u∂ξ = 0, u = η2ϕ(ξ) + ψ(η).

1.114. ξ = xy4 ,

η = xy4 ,

∂ u

∂ξ∂η

1.115. ξ = x2 + y2,

− η2 ∂u∂η − η3 = 0,

η = x,

∂∂ηu2

u = ϕ(ξ) + ψ(ξ)η3 + 10η

;

∂2u

1 ∂u

ξη

1.116. ξ = x, η = x

+ y,

+ η ∂ξ + 1 = 0,

u = η

ϕ(ξ) + ψ(η) −

2 .

∂ξ∂η

Задача Коши.

1.117. u = 12t2 − xt − t.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 109 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
06.02.20252.44 Mб1дзерж Теория графов методичка.pdf
#
10.02.20231.44 Mб82Дзержинский. Дискретная математика.pdf
#
10.02.20232.32 Mб18Дискретная математика.pdf
#
09.02.20231.56 Mб1зад 2.docx
#
06.02.20251.86 Mб1тостер методичка с сдо.pdf
#
06.02.2025427.79 Кб1УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ в примерах и задачах-объединены.pdf
#
06.02.2025635.65 Кб0шамин с сдо.pdf