УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ в примерах и задачах-объединены

√√

Tn(t) = An cos λnt + Bn sin λnt,

ãäå An, Bn - произвольные постоянные.

Таким образом, мы получим счетное множество решений уравнения (3.1) вида

p p

un(x, t) = Tn(t)Xn(x) = (An cos λnt + Bn sin λnt)Xn(x),

которые удовлетворяют граничным условиям (3.8) и (3.9).

Чтобы удовлетворить начальным условиям (3.4) и (3.5), составим ряд

n=1

Если этот ряд сходится равномерно, так же как и ряды, получающиеся из него двукратным дифференцированием по x è ïî t, то сумма его будет удовлетворять уравнению (3.1) и краевым условиям (3.2) и (3.3).

Тогда для выполнения начальных условий (3.4) и (3.5) надо, чтобы

n=1

∞

∂u(x, 0) = X pλnBnXn(x) = F (x). (3.12)

∂t

n=1

Предположим, что функции f(x) è F (x) удовлетворяют условиям теоремы Стеклова, теперь их действительно можно представить в виде рядов (3.11) , (3.12). Тогда можно определить коэффициенты Anè Bn, умножив обе части равенства (3.11) и (3.12) на ρ(x)Xn(x) и проинтегрировав по x в интервале от

0 äî `. В силу свойства 3, получим

61

Подставляя найденные значения коэффициентов в ряд (3.10), получим ре-

шение нашей задачи.

Изложенный метод очевидным образом переносится на уравнения параболического и эллиптического типов.

Приводим теперь задачи, разбитые по основным темам.

Предлагаем решить следую-

щие примеры.

2.1Однородная струна длиной `, закрепленная на обоих концах, находится

âположении, занимая отрезок [0, `] îñè 0x, следовательно

u(0, t) = 0; u(`, t) = 0

62

0, 0 ≤ x ≤ α,

6) u(x, 0) = 0, ∂u∂t (x, 0)= v0, α < x < β,

0, β ≤ x ≤ l.

h(x−l), c < x ≤ l,

(c−l)

∂u(x,0) = 0; ∂t

9) u(x, 0) = 165h [(x` )4 − 2(x` )3 + (x` )], h>0, ∂u∂t (x, 0) = 0;

2.2. Левый конец стержня, x = 0, закреплен, а правый x = `, свободен, это

для t>0. Найти продольные колебания стержня при следующих начальных условиях:

63

2.3 Проинтегрировать уравнение продольных колебаний стержня ∂2u = a2 ∂2u

∂t2 ∂x2 ,

64

9) u(x, 0) = A(` − x), ∂u∂t (x, 0) = v0.

2.4. Изучить задачу о продольных колебаниях стержня, оба конца которого свободны. Подобная задача возникает при движении ракеты в безвоздушном

пространстве. Искомая функция u(x, t), как мы говорили в пункте 2.2, удовле-

2.5 В следующей серии рассматриваются задачи о продольных колебаниях

65

стержня, один из концов или оба закреплены упруго.

В полуполосе 0 < x < `, t > 0 для уравнения ∂2u = a2 ∂2u

∂t2 ∂x2

решить начально-краевые задачи со следующими условиями:

66

9) ∂u∂x (0, t) − h1u(0, t) = 0, ∂u∂x (l, t) + h2u(l, t) = 0, h1 > 0, h2 > 0,

2.4.2 Задачи о колебании с особыми краевыми условиями.

Несмотря на обилие различных краевых задач, на практике (в реальной жизни) встречаются примеры особых граничных условий, даже таких, для которых неприменим метод Фурье. В этом случае краевое условие таково, что

переменные в нем не разделяются, например, αu(0, t)+β ∂u∂t (0, t) = 0, αβ 6=.0 Для уравнения общего вида (3.1) метод Фурье может дать осечку, если краевые условия отличные от условий (3.2) и (3.3). Для специального уравнения, скажем (1.5), метод Фурье может сработать, но теория Штурма-Лиувилля не будет выполнятся в полной мере. Рассмотрим задачу о колебании струны или стержня со сосредоточенной массой на конце.

Пример 3. (задача N 84, [5], 1968 года).

Однородный стержень имеет длину ` и площадь поперечного сечения σ. Êî-

íåö åãî x = 0 закреплен неподвижно, а на конце x = ` сосредоточена масса m. Стержень предварительно растянут силой Q. Изучить продольные колебания стержня, которые возникают при внезапном прекращении действия растягивающей силы.

Решение. Выясним сначала начальные условия. Поскольку они аналогич- ные условиям примера 2, то можем сразу записать

67

Уравнение будет однородным

Îñü 0x направим вдоль стержня сверху вниз. Верхний конец закреплен в точке x = 0, значит , первое краевое условие

На втором конце, x = `, сосредоточенная в точке масса m и это сечение в процессе колебаний будет иметь силу ускорения, равную

тивостоит силе натяжения T = Eσ∂u∂x , смотрите равенство (2.1). В силу принципа Даламбера сумма этих сил равна нулю. В итоге получаем второе краевое условие:

Это условие отличается от требований (3.2) и (3.3) и на первый взгляд переменные x и t в нем не разделяются, но , благодаря специальному виду уравнения (4.3), переменные разделяются, что позволяет применить метод Фурье.

Ищем частные решения уравнения (4.3), удовлетворяющие условиям (4.4) и (4.5), в виде произведения u(x, t) = X(x)T (t). Подставляя u(x, t) в уравнение и разделяя переменные, получаем:

Мы посчитали в тождестве (4.6) общую постоянную дробей отрицательной,

λ 6= ,0надеясь, что дотошный читатель сам проверит, что при ν ≥ 0 краевая задача не разрешима.

68

Запишем дифференциальные уравнения, порожденные равенством (4.6)

Определимся с краевыми условиями. При x = 0 имеем X(0)T (t) = 0, откуда

Ïðè x = ` проблема посложней. Теперь

mX(`)T 00(t) + EσX0(`)T (t) = 0.

Воспользуемся соотношением (4.8), из которого T 00(t) = −a2λ2T (t). Теперь предыдущее равенство запишется так mX(`)(−a2λ2T (t)) + EσX0(`)T (t) = 0

Сократим на T (t) 6= 0

Краевое условие (4.10) отличается от условий пункта 2.3 наличием λ2 â ðà-

венстве и пользоваться результатами этого пункта следует с осторожностью. Итак, ищем нетривиальные решения (4.7), удовлетворяющие (4.9) и (4.10). Общее решение (4.7) находилось раньше

X(x) = C1 cos λx + C2 sin λx.

Ïðè x = 0 имеем X(0) = C1 = 0, C2 для простоты полагаем равной единице, C2 = 1. Подставим X(x) è X(x)0 = λ cos λx â (4.10)

Eσλ cos λ` − mλ2a2 sin λ` = 0.

69

Сокращаем на λ (λ 6= 0), делим на cos λ` и умножаем на `

которое имеет бесконечное число простых, положительных корней (проще всего это установить графически) µ1, µ2 ..., µk... . Им соответствуют собственные функции Xk(x) = sin µk`x, k N. Самый больной вопрос ортогональны ли

[0, `]. Проверим это. Пусть Xk(x) è Xm(x), k 6=m, решения неравным друг другу µk

70