Добавил:

ukusezha Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

МИРЭА - Российский технологический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ в примерах и задачах-объединены

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

06.02.2025

Размер:

427.79 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 103 4 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Теперь

	C(ξ)		∂u C(ξ)
v =		;		=		.
	η3		∂ξ		η3

1 1

u(ξ, η) = η3 C(ξ)dξ + ϕ(η) = η3 ψ(ξ) + ϕ(η).

Здесь C(ξ),ϕ(η) è ψ(ξ) произвольные функции

ψ(ξ) = C(ξ)dξ.

Переходим к переменным x и y

u(x, y) = x13 ψ(x3y2) + ϕ(x).

			2
Преобразуем ψ(x3y2) к произвольной функции от аргумента ξ1 = xy3
	2		2
ψ(x3y2) = ψ((xy3 )3) = g((xy3 )) = g(ξ1).
Èòàê
	1		2
u(x, y) =			g(xy3 ) + ϕ(x).	(1.34)
u(x, y) =		x3	g(xy3 ) + ϕ(x).	(1.34)

Подберем функции g и ϕ из рассчета удовлетворить начальным условиям

(1.32).
Найдем предварительно производную ∂u
						∂y	из равенства (1.34)
∂u			1			2		2		1
		=		gξ0		(xy3 )x			y−	3 .	(1.35)
	∂y	=	x3	gξ0	1	(xy3 )x		3	y−	3 .	(1.35)

Подставим y = 1 в равенство (1.34) и (1.35) и удовлетворим условиям (1.32)

x13 g(x) + ϕ(x) = x2 − 2,

1	g0	(x)x	2	= x3, g0(x) =	3	x5.

			3
x3					2

Интегрируем последнее равенство

g(x) = x6 + C.

Далее ϕ(x) = x2 − 2 − x13 (x46 + C).

Подставляем, найденные выражение для g(x) è ϕ(x) в (1.34), изменив аргу-

ìåíò â g(x) значение x на xy3

1 (xy32 )6

u(x, y) =

+ x2 − 2 −

−

После небольших упрощений окончательный результат

u(x, y) =

(y − 1)

+ x2 − 2.

ПРИМЕР 6. Найти решение уравнения

∂2u

1 ∂u

+ y

= 0, (y < 0),

(1.36)

∂x2

∂y2

∂y

åñëè u(x, y) = ϕ1(x) на характеристике x − 2√

= 0 ,

(L1)

−y

è u(x, y) = ϕ1(x) на характеристике x + 2√

= 0,

(L2),

−y

ãäå ϕ1(x) è ϕ2(x) - функции, заданные соответственно на отрезках 0 ≤ x ≤ 12 è 12 ≤ x ≤ 1, причем ϕ1(12) = ϕ2(12) (см. рисунок).

√ √

Легко видеть, что подстановкой ξ = x − 2 −y, η = x + 2 −y уравнение (1.36) приводится к каноническому виду

∂2u

∂ξ∂η

= 0.

Поэтому (см. пример 3) его общее решение таково

√		√
u(x, y) = θ1(x − 2	−y) + θ2(x + 2		−y),		(1.37)

ãäå θ1è θ2- произвольные функции. Наша задача состоит в том, чтобы выбрать

такие θ1 è θ2, при которых функция (1.37) удовлетворяет условиям задачи. На характеристике L1, òî åñòü, ïðè 2√−y = x, мы по условию имеем

θ1(0) + θ2(2x) = ϕ1(x).

(1.38)

Аналогично, на L2, òî åñòü, ïðè 2√−y = 1 − x, справедливо

θ1(2x − 1) + θ2(1) = ϕ2(x).

(1.39)

Из (1.39), полагая 2x − 1 = z, получаем

z + 1

θ1(z) = ϕ2(

) − θ2(1),

(1.40)

à èç (1.38) ïðè z = 2x получаем

− θ1

θ2(z) = ϕ1(

)

(0).

Требуемые функции θ1 è θ2 найдены. Подставляем их в (1.37):

(

x − 2√

+ 1

) + ϕ

(

x + 2√

)

u(x, y) = ϕ

−y

−

(θ

(0) + θ

(1)).

(1.41)

Положим

(1.40) z

θ1(0)

ϕ2(21)

− θ2(1),

откуда

θ1(0) + θ2(1)

ϕ2(21). Так что искомое решение задачи приобретает вид:

x+2√

x−2√

u(x,y)=

−y

ϕ1(

) + ϕ2(

) − ϕ2(2).

ЗАДАЧИ.

Определить тип заданного уравнения в заданной области:

1.1. (y + 1)∂∂x2u2 − 2∂x∂y∂2u + x∂∂y2u2 − ∂u∂y = 0

в прямоугольнике 1 < x < 3,

0 < y < 1.

1.2. y

∂2u

+ x

∂2u

+ 2(x + y)

∂2u

= 0

∂y

∂x

∂x∂y

в круге x2 + (y − 6)2 < 1.

1.3. 2xy

∂2u

+ x2

∂2u

+ y2

∂2u

− x∂u∂y + y∂u∂x = 0

∂x∂y

∂y2

∂x2

в квадрате |x| < 1,

|y| < 1.

1.4. (x + y)∂∂x2u2 + (x − y)∂∂y2u2 + xu = 0

в круге (x − 5)2 + y2 < 1.

1.5. (x + 1)∂∂x2u2 − 2x2 ∂u∂x + (y − 3)∂∂y2u2 + u = 0

в квадрате 0 < x < 1,

0 < y < 1.

1.6. 4

∂2u

− 2(x − y)

∂2u

+ (1 − xy)

∂2u

= 0

∂x2

∂x∂y

∂y2

в полосе 2 < x + y < 5.

1.7. x2

∂2u

+ 2x

∂2u

+ y∂u∂x − ∂u∂y = 0

∂x2

∂y2

∂x∂y

в кольце 1 < x2 + y2 < 7.

1.8. x

∂2u

+ 6∂x∂u + (x + y)

∂2u

− y∂u∂y = 0

∂x2

∂y2

в квадрате 0 < x < 2,

0 < y < 2.

1.9. 6

∂2u

+ y

∂2u

+ x

∂2u

+ ∂u = 0

∂x∂y

∂x

∂y

в квадрате 1 < x < 2,

2 < y < 3.

1.10.

2x∂x∂u + 3∂u∂y +

∂2u

− (x2 − 2)

∂2u

− 2y

∂2u

= 0

∂x2

∂y2

∂x∂y

в круге x2 + y2 < 1.

1.11.

∂2u

− 4x

∂2u

+ 2y

∂2u

+ y∂x∂u − u = 0

∂x2

∂x∂y

∂y2

в прямоугольнике 1 < x < 3, 4 < y < 8.

1.12. То же уравнение в прямоугольнике 5 < x < 9, −1 < y < 1.

Указать одну из подстановок, приводящих данное уравнение к канониче- скому виду, указать тип уравнения и ожидаемый канонический вид:

1.13. 2

∂2u

− 2

∂2u

= 0.

∂x2

∂x∂y

∂y2

1.14. 2

∂2u

−

∂2u

− 6

∂2u

= 0.

∂x2

∂x∂y

∂y2

1.15.

∂2u

− 10

∂2u

+ 25

∂2u

= 0.

∂x2

∂x∂y

∂y2

1.16. ∂2u

2x ∂2u

∂u

= 0.

∂x2

+ e

∂y2

+ y ∂y

− x∂x

1.17.e2y ∂∂x2u2 + 2xey ∂x∂y∂u2 + x2 ∂∂y2u2 = 0.

1.18.y∂∂x2u2 + x(2y − 1)∂x∂y∂2u − 2x2 ∂∂y2u2 = 0.

1.19.9y4 ∂∂x2u2 + 6y2sinx∂x∂y∂2u + sin2x∂∂y2u2 = 0.

1.20. x2 ∂∂x2u2 − 2xy∂x∂y∂2u + (4 + y2)∂∂y2u2 = 0.

1.21. y

∂2u

+ (ex − y)

∂2u

− ex

∂2u

= 0.

∂x2

∂x∂y

∂y2

1.22. x

∂2u

+ (1 + xtgx)

∂2u

+ tgx

∂2u

= 0.

∂x∂y

∂x

∂y

1.23. cos2y∂∂x2u2 − 2sinxcosy∂x∂y∂2u + sin2x∂∂y2u2 = 0.

1.24. x2	∂2u	+ (2x2 − y2)			∂2u	− 2y2	∂2u	= 0.
	∂x2				∂x∂y		∂y2
1.25. ∂2u2 + 2cos2y			∂2u	+ cos4y∂2u2 = 0.
			∂x∂y
∂x						∂y

1.26. sin2y∂∂x2u2 + cos2x∂∂y2u2 = 0.

1.27. x4 ∂∂x2u2 − 2x2y∂x∂y∂2u + y2 ∂∂y2u2 + 3∂u∂x = 0.

1.28. sin4x∂∂x2u2 + 2sin2x∂x∂y∂2u + ∂∂y2u2 − ∂u∂y + sinx∂u∂x = 0.

1.29. e2x ∂2u2	+ 2	∂2u	+ 2e−2x ∂2u2	+ ∂u	= 0
		∂x∂y
∂x			∂y	∂x

1.30. cos4x∂∂x2u2 + sin4y∂∂y2u2 − 3∂u∂y = 0.

1.31. tg2x

∂2u

− 2ytgx

∂2u

+ y2

∂2u

− ∂u∂y = 0.

∂x2

∂x∂y

∂y2

1.32. e

2y ∂2u

+ 3e

y ∂2u

+ 2

∂2u

+ e

y ∂u

−

∂u

= 0.

∂x2

∂y2

∂x∂y

∂x

∂y

1.33. x4

∂2u

+ 4x2

∂2u

+ 5

∂2u

−

∂u∂x + x1 ∂u∂y = 0.

∂x2

∂x∂y

∂y2

1.34. sin2y

∂2u

− 4siny

∂2u

+ 4

∂2u

+ 2cosy∂x∂u − ∂u∂y = 0.

∂x2

∂x∂y

∂y2

1.35. ∂2u

∂2u

∂u

∂x2 + 2ctgx

+ ctg

∂y2 − cosx∂x = 0.

∂x∂y

1.36.tg2x∂∂x2u2 + ctg2y∂∂y2u2 − sinx∂u∂x + 2cosy∂u∂y = 0.

1.37.(x + y)∂∂x2u2 + 2y∂x∂y∂2u + (y − x)∂∂y2u2 = 0.

1.38.(x2 + 9)∂∂x2u2 − 2xy∂x∂y∂2u + y2 ∂∂y2u2 = 0.

1.39.x∂∂x2u2 + (x + x2 + 2y)∂x∂y∂2u + (x2 + 2y)∂∂y2u2 = 0.

1.40.x2 ∂∂x2u2 − (1 + xy + x2)∂x∂y∂2u + (xy + 1)∂∂y2u2 = 0.

Привести к каноническому виду

1.41. ∂2u + ∂2u = 0.

∂x∂t ∂t2

1.42. ∂∂x2u2 − 2∂x∂y∂2u + ∂∂y2u2 = 0.

1.43.4∂∂x2u2 − 4∂x∂y∂2u + ∂∂y2u2 − 2∂u∂x + ∂u∂y = 0.

1.44.∂∂x2u2 − 6∂x∂y∂2u + 8∂∂y2u2 + ∂u∂x − 2∂u∂y = 0.

1.45.

∂2u

− 2

∂2u

+ 2

∂2u

+ ∂x∂u − ∂u∂y = 0.

∂x2

∂x∂y

∂y2

1.46. 3

∂2u

+ 2

∂2u

−

∂2u

+ ∂x∂u + ∂u∂y = 0.

∂x2

∂x∂y

∂y2

1.47. 5

∂2u

+ 4

∂2u

+ 2∂u +

∂u = 0.

∂x∂y

∂x

∂y

∂x

∂y

1.48. 9

∂2u

− 6

∂2u

+ 3∂u∂x − ∂u∂y = 0.

∂x2

∂x∂y

∂y2

1.49. 4

∂2u

− 8

∂2u

+ 2∂x∂u − ∂u∂y = 0.

∂x2

∂x∂y

∂y2

1.50. ∂2u2

+ 6

∂2u

+ 9

∂2u2

+ ∂u + 3

∂u = 0.

∂x

∂x∂y

∂y

∂x

∂y

1.51. 2

∂2u

− 2

∂2u

+ ∂u∂x +

∂u∂y = 0.

∂x2

∂x∂y

∂y2

1.52. ∂2u2

+ 4

∂2u

+ 4

∂2u2

+ ∂u + 2

∂u = 0.

∂x

∂x∂y

∂y

∂x

∂y

1.53.5∂∂x2u2 + 6∂x∂y∂2u + ∂∂y2u2 + ∂u∂x + ∂u∂y = 0.

1.54.5∂∂x2u2 + 2∂x∂y∂2u + 2∂∂y2u2 + 6(∂u∂x − ∂u∂y ) = 0.

1.55.9∂∂x2u2 − 12∂x∂y∂2u + 4∂∂y2u2 + 3∂u∂x − 2∂u∂y = 0.

1.56.5∂∂x2u2 − 8∂x∂y∂2u + 5∂∂y2u2 + 3(∂u∂x − 2∂u∂y ) = 0.

1.57.3∂∂x2u2 + 5∂x∂y∂2u − 2∂∂y2u2 + 7(∂u∂x + 2∂u∂y ) = 0.

1.58.

∂2u

− 2

∂2u

+ α∂u∂x + β ∂u∂y + cu = 0.

∂x2

∂x∂y

∂y2

1.59. ∂2u

∂2u

∂u

∂x2

+ 2

− 3∂y2

+ 2

+ 6∂y = 0.

∂x∂y

∂x

1.60. 3

∂2u

− 4

∂2u

− 3

∂x∂u + ∂u∂y = 0.

∂x2

∂x∂y

∂y2

1.61. x ∂2u

y ∂2u

1 ∂u

= 0.

y ∂x2

− x ∂y2

+ y ∂x

− x ∂y

1.62. (1 + x2)∂∂x2u2 + (1 + y2)∂∂y2u2 + x∂u∂x + y∂u∂y = 0.

1.63. x∂∂x2u2 − 4x3 ∂∂y2u2 − ∂u∂x = 0.

1.64. x2

∂2u

− 6xy

∂2u

+ 9y2

∂2u

+ 12y∂u∂y = 0.

∂x2

∂x∂y

∂y2

1.65. 4y2

∂2u

−

∂2u

+ y1 ∂u∂y = 0.

∂x2

∂y2

y ∂2u

−

∂2u

∂u

1.66. e

+ (1 + e

)∂y

= 0.

∂x∂y

∂y2

1.67. 4y2

∂2u

− 4y

∂2u

− y1 ∂u∂y = 0.

∂x2

∂x∂y

∂y2

1.68. y2

∂2u

+ 2xy

∂2u

+ 2x2

∂2u

+ y∂u = 0.

∂x

∂x∂y

∂y

1.69. cos2y

∂2u

− 2cosy

∂2u

− xcos2y∂x∂u + (tgx − xcosy)∂u∂y = 0.

∂x2

∂x∂y

∂y2

1.70. ∂2u

∂2u

∂x2

+ 2sinx

− cos

∂y2

= 0.

∂x∂y

<<< < Предыдущая 1 23 / 103 4 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
06.02.20252.44 Mб1дзерж Теория графов методичка.pdf
#
10.02.20231.44 Mб82Дзержинский. Дискретная математика.pdf
#
10.02.20232.32 Mб17Дискретная математика.pdf
#
09.02.20231.56 Mб1зад 2.docx
#
06.02.20251.86 Mб1тостер методичка с сдо.pdf
#
06.02.2025427.79 Кб1УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ в примерах и задачах-объединены.pdf
#
06.02.2025635.65 Кб0шамин с сдо.pdf