численные методыА.Б. САМОХИН, В.В. ЧЕРДЫНЦЕВ, А.А. ВОРОНЦОВ
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§ |
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§ 1· |
§ |
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§ |
3 |
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§ |
1 |
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· |
§ |
1 |
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55
ȼɚɪɢɚɧɬɵ ɡɚɞɚɧɢɣ.
ɇɚɣɬɢ ɪɟɲɟɧɢɟ ɋɅȺɍ ɦɟɬɨɞɨɦ Ƚɚɭɫɫɚ ɢ ɦɟɬɨɞɨɦ ɨɪɬɨɝɨɧɚɥɢ ɡɚɰɢɢ
§9 |
8 |
3 |
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4 · |
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§1 |
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§ 1 |
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3· |
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§1 |
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5· |
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§1 |
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§1 |
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§ 1 |
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§5 |
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§8 |
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§1 |
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§ 8 |
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§1 |
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§1 |
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1· |
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§5 |
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2 · |
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§1 |
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§6 |
3 |
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4 · |
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56
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ɇɚɣɬɢ ɪɟɲɟɧɢɟ ɋɅȺɍ ɫ ɦɚɬɪɢɰɟɣ A ^ai, j `, i, j 1..n ɢ ɩɪɚ
ɜɨɣ ɱɚɫɬɶɸ b ɢɬɟɪɚɰɢɨɧɧɵɦɢ ɦɟɬɨɞɚɦɢ əɤɨɛɢ Ɂɟɣɞɟɥɹ ɢ Ɉɋɉ Ɋɟɲɟɧɢɟ ɩɨɥɭɱɢɬɶ ɫ ɡɚɞɚɧɧɨɣ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨɣ ɬɨɱɧɨɫɬɶɸ H ɍɤɚ ɡɚɬɶ ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɨ ɢɬɟɪɚɰɢɣ miter ɧɟɨɛɯɨɞɢɦɵɯ ɤɚɠɞɨɦɭ ɦɟɬɨɞɭ ɞɥɹ ɞɨɫɬɢɠɟɧɢɹ ɡɚɞɚɧɧɨɣ ɬɨɱɧɨɫɬɢ ɇɚ ɩɪɚɤɬɢɱɟɫɤɢɯ ɡɚɧɹɬɢɹɯ ɫ ɢɫ ɩɨɥɶɡɨɜɚɧɢɟɦ ɤɚɥɶɤɭɥɹɬɨɪɨɜ ɜ ɫɥɭɱɚɹɯ ɫɥɚɛɨɣ ɫɯɨɞɢɦɨɫɬɢ ɨɝɪɚ ɧɢɱɢɬɶɫɹ ɱɢɫɥɨɦ miter 10..15 ɨɬɪɚɡɢɜ ɷɬɨ ɜ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɚɯ ɇɚ ɥɚ ɛɨɪɚɬɨɪɧɵɯ ɪɚɛɨɬɚɯ ɫ ɢɫɩɨɥɶɡɨɜɚɧɢɟɦ ɩɚɤɟɬɚ Mathcad ɷɬɨ ɨɝɪɚɧɢ ɱɟɧɢɟ ɫɧɢɦɚɟɬɫɹ Ɉɬɦɟɬɢɬɶ ɬɚɤɠɟ ɫɥɭɱɚɢ ɹɜɧɨɣ ɪɚɫɯɨɞɢɦɨɫɬɢ ɦɟ ɬɨɞɚ
ȼ ɤɚɱɟɫɬɜɟ ɨɩɬɢɦɚɥɶɧɨɝɨ ɩɚɪɚɦɟɬɪɚ k ɞɥɹ ɫɯɨɞɢɦɨɫɬɢ ɦɟɬɨɞɚ Ɉɋɉ ɜ ɡɚɞɚɱɟ ɫ ɦɚɬɪɢɰɟɣ ɪɚɡɦɟɪɨɦ n n ɫɥɟɞɭɟɬ ɩɪɢɧɢ ɦɚɬɶ
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ɹɧɧɨɣ ɝɥɚɜɧɨɣ ɞɢɚɝɨɧɚɥɶɸ ɝɞɟ d ai,i ,i 1, 2,.., n ȼ ɱɚɫɬɧɨ |
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ɫɬɢ ɞɥɹ ɦɚɬɪɢɰ ɫ n 3 .
ȼ ɫɥɭɱɚɹɯ ɪɚɫɯɨɞɢɦɨɫɬɢ ɜɫɟɯ ɬɪɟɯ ɢɫɩɨɥɶɡɭɟɦɵɯ ɦɟɬɨɞɨɜ ɫɥɟ ɞɭɟɬ ɩɪɢɦɟɧɢɬɶ ɤɨɦɛɢɧɢɪɨɜɚɧɧɵɣ ɦɟɬɨɞ əɤɨɛɢ-Ɂɟɣɞɟɥɹ ɢ Ɉɋɉ Ⱦɥɹ ɷɬɨɝɨ ɩɨɬɪɟɛɭɟɬɫɹ ɧɚɣɬɢ ɫɨɛɫɬɜɟɧɧɵɟ ɱɢɫɥɚ ɦɚɬɪɢɰɵ əɤɨɛɢɢ ɧɚ ɷɬɨɣ ɨɫɧɨɜɟ ɫɞɟɥɚɬɶ ɜɵɜɨɞ ɨ ɡɧɚɱɟɧɢɢ k ɞɥɹ ɪɹɞɚ ɨɩ ɬɢɦɚɥɶɧɨɣ ɩɪɨɫɬɨɣ ɢɬɟɪɚɰɢɢ ɫ ɦɚɬɪɢɰɟɣ ɜ ɤɨɬɨɪɨɣ B - ɦɚɬɪɢɰɚ ɗɬɨɬ ɠɟ ɨɩɬɢɦɚɥɶɧɵɣ ɩɚɪɚɦɟɬɪ ɦɨɠɧɨ ɢɫɩɨɥɶ ɡɨɜɚɬɶ ɞɥɹ ɩɨɫɬɪɨɟɧɢɹ ɪɹɞɚ ɩɪɨɫɬɨɣ ɢɬɟɪɚɰɢɢ ɫ ɨɩɟɪɚɬɨɪɨɦɝɞɟ B -ɨɩɟɪɚɬɨɪ Ɂɟɣɞɟɥɹ Ɉɞɧɚɤɨ ɜ ɩɨɫɥɟɞɧɟɦ ɫɥɭɱɚɟ ɨɩɬɢɦɚɥɶɧɵɣ ɩɚɪɚɦɟɬɪ ɤɚɤ ɩɪɚɜɢɥɨ ɦɨɠɟɬ ɛɵɬɶ ɡɧɚɱɢɬɟɥɶɧɨ ɭɥɭɱɲɟɧ ɢ ɜ ɧɟɨɛɯɨɞɢɦɵɯ ɫɥɭɱɚɹɯ ɨɧ ɭɤɚɡɚɧ
57
ȼɚɪɢɚɧɬɵ ɡɚɞɚɧɢɣ
ʋ |
|
|
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|
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|
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|
|
|
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|
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|
|
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|
|
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||
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1. |
|
§ |
1 |
0 |
· |
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§1· |
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10 10 |
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|
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2. |
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§ |
3 |
1· |
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|
§ |
2 |
· |
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10 8 |
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|
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|
¨ |
1 |
5 |
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|
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6 |
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|
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¹ |
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3. |
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§ |
7 |
1· |
|
|
§ |
6 |
· |
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10 8 |
k =0.1 |
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4 |
3 |
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7 |
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¹ |
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© |
¹ |
|
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4. |
|
§15 |
1· |
|
|
§16 |
· |
|
10 8 |
k =0.1 |
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8 |
¸ |
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©12 |
¹ |
|
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© 4 |
|
¹ |
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|
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|||||
5. |
|
§14 |
2 |
· |
|
|
§10 |
· |
|
10 5 |
k =0.2 |
||||||
|
¨ |
|
7 |
6 |
|
¸ |
|
|
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¸ |
|
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|
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|
|
¹ |
|
|
©19 |
¹ |
|
|
|
|
||||
6. |
§ |
5 |
2 |
|
|
· |
§ |
3 |
|
|
|
· |
10 5 |
|
|
||
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4 |
0.7 |
¸ |
¨ |
3.3 |
¸ |
|
|
|||||||||
|
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¹ |
© |
¹ |
|
|
|
||||||||||
7. |
|
§14 |
2 |
· |
|
|
§12 |
· |
|
10 5 |
k =0.25 (n =2), |
||||||
|
¨ |
|
7 |
1 |
|
¸ |
|
|
¨ |
|
|
¸ |
|
k =0.65 |
(n =100) |
||
|
|
© |
|
|
¹ |
|
|
©8 |
|
¹ |
|
|
|||||
8. |
|
§ |
2 |
3 |
· |
|
|
§ |
5 |
· |
|
10 3 |
k = 1 |
(n =2), |
|||
|
¨ |
7 |
2 |
¸ |
|
|
¨ |
5 |
¸ |
|
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|
|
© |
¹ |
|
|
© |
¹ |
|
|
k = 1.85 |
(n =100) |
||||||
9. |
|
§14 |
2 |
· |
|
|
§12 |
· |
|
10 5 |
k =0.3 |
(n =2), |
|||||
|
¨ |
|
|
1 |
|
¸ |
|
|
¨ |
|
|
¸ |
|
||||
|
|
©10 |
|
¹ |
|
|
©11 |
¹ |
|
|
k =0.8 |
(n =100) |
|||||
10. |
|
§ |
14 |
1 |
|
· |
|
§15 |
· |
10 8 |
|
|
|||||
|
¨ |
4 |
2 |
¸ |
|
¨ |
|
|
¸ |
k = –0.17 |
|||||||
|
|
© |
¹ |
|
© 6 |
¹ |
|
||||||||||
11. |
|
§15 |
1· |
|
|
§14 |
· |
|
10 8 |
|
|
||||||
|
¨ |
3 |
8 |
¸ |
|
|
¨ |
|
|
¸ |
|
|
|
||||
|
|
© |
¹ |
|
|
©11 |
¹ |
|
|
|
|
||||||
12. |
|
§14 |
1· |
|
|
§13 |
· |
|
10 5 |
|
|
||||||
|
¨ |
3 |
6 |
¸ |
|
|
¨ |
|
|
¸ |
|
|
|
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|
|
© |
¹ |
|
|
©9 |
|
¹ |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
58 |
|
|
|
|
|
§ |
1 |
10 |
10 |
· |
|
§ 21· |
|
|
|
13 |
|
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0 1 0 |
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|
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¸ |
10 15 |
|
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|
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0 |
10 |
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|
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¹ |
|
©11 |
¹ |
|
|
|||
|
§ |
1 |
10 |
0 |
|
· |
§11· |
|
|
||
14. |
¨ |
|
|
1 |
10 |
¸ |
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¸ |
10 10 |
|
|
¨10 |
¸ |
¨1 |
¸ |
|
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|
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10 |
1 |
|
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¨ |
¸ |
|
|
|
|
© |
|
¹ |
©11¹ |
|
|
|||||
|
§ |
5 |
10 |
0 |
· |
§ 5· |
|
|
|||
15 |
¨ |
|
|
5 |
10 |
¸ |
¨ |
¸ |
10 10 |
|
|
¨10 |
¸ |
¨ 25 |
¸ |
|
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|
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0 |
10 |
5 |
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¸ |
|
|
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|
© |
¹ |
©15 |
¹ |
|
|
|||||
ɉɪɢ ɜɵɩɨɥɧɟɧɢɢ ɥɚɛɨɪɚɬɨɪɧɵɯ ɪɚɛɨɬ ɫ ɩɨɦɨɳɶɸ ɩɚɤɟɬɚ Mathcad ɭɤɚɡɚɧɧɵɟ ɜɚɪɢɚɧɬɵ ɜɢɞɨɢɡɦɟɧɹɸɬɫɹ ɞɨ ɛɨɥɶɲɢɯ ɬɪɟɯ ɞɢɚɝɨɧɚɥɶɧɵɯ ɦɚɬɪɢɰ ɫ n 10 ɢ n 100 Ⱦɥɹ ɷɬɨɝɨ ɝɥɚɜɧɚɹ ɢ ɞɜɟ ɩɨɛɨɱɧɵɟ ɞɢɚɝɨɧɚɥɢ ɩɟɪɢɨɞɢɱɟɫɤɢ ɩɪɨɞɨɥɠɚɸɬɫɹ ɧɚ ɛɨɥɶɲɭɸ ɦɚɬɪɢɰɭ Ɉɫɬɚɥɶɧɵɟ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɵ ɦɚɬɪɢɰɵ ɧɭɥɟɜɵɟ Ɍɚɤ ɦɚɬ ɪɢɰɚ ɜɚɪɢɚɧɬɚ ʋ ɜɵɝɥɹɞɢɬ ɫɥɟɞɭɸɳɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ
|
§ |
3 |
1 |
0 |
0 |
0 |
· |
|
¨ |
1 |
5 |
1 |
0 |
0 |
¸ |
|
¨ |
¸ |
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0 |
1 |
3 |
1 |
0 |
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0 |
0 |
1 |
5 |
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0 |
0 |
0 |
1 |
5 |
¸ |
|
© |
|
|
|
|
|
¹ |
Ɉɩɬɢɦɚɥɶɧɵɣ ɩɚɪɚɦɟɬɪ k ɞɥɹ ɦɟɬɨɞɚ Ɉɋɉ ɨɫɬɚɺɬɫɹ ɩɪɢ ɷɬɨɦ ɧɟɢɡɦɟɧɧɵɦ ɧɟɫɦɨɬɪɹ ɧɚ ɬɪɚɧɫɮɨɪɦɚɰɢɸ ɫɩɟɤɬɪɚ ɦɚɬɪɢɰɵ – ɭɜɟɥɢɱɟɧɢɟ ɪɚɞɢɭɫɚ ɤɪɭɝɚ :B ɩɪɢ ɧɟɢɡɦɟɧɧɨɦ ɩɨɥɨɠɟɧɢɢ ɟɝɨ
ɰɟɧɬɪɚ ɢ ɨɩɪɟɞɟɥɹɟɬɫɹ ɬɚɤ ɤɚɤ ɭɤɚɡɚɧɨ ɜɵɲɟ ɞɥɹ ɦɚɥɵɯ ɦɚɬɪɢɰ
|
Ɋɟɲɢɬɶ ɡɚɞɚɱɭ ɞɥɹ ɪɚɡɥɢɱɧɵɯ ɜɟɤɬɨɪɨɜ ɩɪɚɜɨɣ ɱɚɫɬɢ |
|||
1). |
bi 0,b1 1; |
2). bi 0,bn 1; 3). bi |
1 ɞɥɹ ɜɫɟɯ i |
0,1, 2,.... |
Ɉɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɚɹ |
ɬɨɱɧɨɫɬɶ ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɣ |
ɞɥɹ ɜɫɟɯ |
ɜɚɪɢɚɧɬɨɜ |
|
H |
10 15 . |
|
|
|
ȼɚɪɢɚɧɬɵ ɩɨɦɟɱɟɧɧɵɟ ɢɫɩɨɥɶɡɭɸɬɫɹ ɬɨɥɶɤɨ ɞɥɹ ɩɪɚɤɬɢɱɟ ɫɤɢɯ ɪɚɛɨɬ ɫ n = ɢ ɞɥɹ n = ɪɟɲɟɧɢɣ ɜ ɜɢɞɟ ɫɯɨɞɹɳɟɝɨɫɹ
59
ɢɬɟɪɚɰɢɨɧɧɨɝɨ ɩɪɨɰɟɫɫɚ ɧɟ ɢɦɟɸɬ ȼ ɷɬɨɦ ɫɥɭɱɚɟ ɜɵɛɢɪɚɟɬɫɹ ɜɚ ɪɢɚɧɬ ɫ ɧɨɦɟɪɨɦ, ɪɚɜɧɵɦ 16 – ʋ ɜɚɪ
ȼ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɟ ɪɚɛɨɬɵ ɩɪɟɞɫɬɚɜɢɬɶ ɞɥɹ ɤɚɠɞɨɝɨ ɦɟɬɨɞɚ
xɜɟɤɬɨɪ ɪɟɲɟɧɢɹ ɧɟɫɤɨɥɶɤɨ ɩɟɪɜɵɯ ɤɨɦɩɨɧɟɧɬ
xɱɢɫɥɨ ɢɬɟɪɚɰɢɣ
xɧɟɜɹɡɤɭ ɪɟɲɟɧɢɹ ɩɨ ɧɨɪɦɟ
xɫɩɟɤɬɪ ɦɚɬɪɢɰɵ ɫ ɩɨɦɨɳɶɸ ɫɬɚɧɞɚɪɬɧɵɯ ɮɭɧɤɰɢɣ
Mathcad)
ɋɪɚɜɧɢɬɶ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɨɩɬɢɦɚɥɶɧɨɝɨ ɩɚɪɚɦɟɬɪɚ ɩɨɥɭɱɟɧɧɨɝɨ ɢɫ ɯɨɞɹ ɢɡ ɡɧɚɧɢɹ ɫɩɟɤɬɪɚ ɨɩɟɪɚɬɨɪɚ ɢ ɧɚɣɞɟɧɧɨɝɨ ɩɨ ɜɵɲɟɢɡɥɨ ɠɟɧɧɵɦ ɩɪɚɜɢɥɚɦ
ɋɪɚɜɧɢɬɶ ɪɟɲɟɧɢɟ ɋɅȺɍ ɩɨɥɭɱɟɧɧɨɟ ɫɬɚɧɞɚɪɬɧɵɦ ɦɟɬɨɞɨɦ Mathcad ɢ ȼɚɲɢɦ ɢɬɟɪɚɰɢɨɧɧɵɦ ɦɟɬɨɞɨɦ
ɋɞɟɥɚɬɶ ɜɵɜɨɞɵ ɨ ɩɪɢɱɢɧɚɯ ɯɨɪɨɲɟɣ ɩɥɨɯɨɣ ɫɯɨɞɢɦɨɫɬɢ ɢɬɟɪɚɰɢɨɧɧɨɝɨ ɦɟɬɨɞɚ ɢ ɨ ɟɺ ɡɚɜɢɫɢɦɨɫɬɢ ɨɬ ɧɚɱɚɥɶɧɨɝɨ ɩɪɢɛɥɢ
ɠɟɧɢɹ ɩɪɚɜɨɣ ɱɚɫɬɢ b ).
ɇɚɣɬɢ ɱɢɫɥɨ ɨɛɭɫɥɨɜɥɟɧɧɨɫɬɢ ɢɫɯɨɞɧɨɣ ɦɚɬɪɢɰɵ ɫ ɩɨɦɨ ɳɶɸ ɫɬɚɧɞɚɪɬɧɵɯ ɮɭɧɤɰɢɣ Mathcad).
Ⱦɥɹ ɜɚɪɢɚɧɬɨɜ ɡɚɞɚɧɢɹ ɫ ɛɵɫɬɪɨɣ ɫɯɨɞɢɦɨɫɬɶɸ m |10..20 ) ɫɪɚɜɧɢɬɶ ɩɪɢ n 1000 ɜɪɟɦɹ ɪɟɲɟɧɢɹ ɋɅȺɍ ɫɬɚɧɞɚɪɬɧɵɦ ɦɟɬɨ ɞɨɦ Mathcad ɢ ɢɬɟɪɚɰɢɨɧɧɵɦ ɦɟɬɨɞɨɦ
ɇɚɯɨɠɞɟɧɢɟ ɫɨɛɫɬɜɟɧɧɵɯ ɡɧɚɱɟɧɢɣ ɢ ɜɟɤɬɨɪɨɜ
ɉɪɢɦɟɪ ɇɚɣɬɢ ɫɨɛɫɬɜɟɧɧɵɟ ɜɟɤɬɨɪɚ ɢ ɡɧɚɱɟɧɢɹ ɦɚɬɪɢɰɵ
|
|
|
|
A |
ª4 |
2º |
|
|
|
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|
|
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G |
§ |
· |
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|
|
|
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1 |
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|
|
|
|
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|
|
|
G |
G |
ª4 |
2º§ |
0 |
· |
§ |
2 |
· |
, |
G |
G |
ª4 |
2º§ |
2 |
· |
§14 · |
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»¨ ¸ |
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Ay1 |
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¹ |
|
ɋɅȺɍ ɢɦɟɟɬ ɫɥɟɞɭɸɳɢɣ ɜɢɞ |
|
|
|
|
|
|
|
|||
§ |
2 |
· |
d2 |
§ |
0 |
· |
§14 |
· |
, |
|
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¨ ¸ |
¨ |
9 |
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60
ɨɬɤɭɞɚ d1 |
7 , |
d2 |
12 ɜ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɟ ɩɨɥɭɱɚɟɦ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɱɟ |
|||||||
ɫɤɢɣ ɩɨɥɢɧɨɦ |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
O2 7O 12 |
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|
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ɨɬɤɭɞɚ O |
3, |
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2 |
4. |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ɉɨɫɬɪɨɢɦ ɩɨɥɢɧɨɦɵ ɞɥɹ ɧɚɯɨɠɞɟɧɢɹ ɫɨɛɫɬɜɟɧɧɵɯ ɜɟɤɬɨɪɨɜ |
||||||||||
|
|
|
|
|
R1(O) O 4, R2 (O) O 3 , |
|||||
ɉɨɷɬɨɦɭ |
|
§ |
2 · |
|
|
|
§ |
2 · § |
1 · |
|
G |
G |
G |
G |
G |
G |
|||||
x1 |
y1 4 y0 |
¨ |
¸ |
, x2 |
y1 |
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¸ v ¨ |
¸ ɬɚɤ ɤɚɤ ɫɨɛɫɬɜɟɧ |
|
|
|
|
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|
|
|
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|
ɧɵɣ ɜɟɤɬɨɪ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧ ɫ ɬɨɱɧɨɫɬɶɸ ɞɨ ɩɪɨɢɡɜɨɥɶɧɨɝɨ ɦɧɨɠɢɬɟɥɹ ɉɪɨɜɟɪɤɚ
G |
§ 4 |
2 ·§ |
2 · |
§ |
6 · |
§ |
2 · |
G |
, |
|||
Ax1 |
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0 |
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3 |
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1¹ |
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¹ |
© |
1¹ |
|
|
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G |
§ 4 |
2 ·§ |
1 |
· |
§ |
4 |
· |
4 |
§ |
1 |
· |
G |
||
Ax2 |
¨ |
0 |
3 |
¸¨ ¸ |
¨ ¸ |
¨ ¸ |
4x2 . |
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0 |
¹ |
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Ɂɚɞɚɧɢɟ ɞɥɹ ɩɪɚɤɬɢɱɟɫɤɢɯ ɡɚɧɹɬɢɣ |
|
|
|
|
|
||||||||
Ⱦɚɧɚ ɦɚɬɪɢɰɚ |
§ a |
b · |
ɇɚɣɬɢ ɟɟ ɫɨɛɫɬɜɟɧɧɵɟ ɡɧɚɱɟɧɢɹ ɢ ɜɟɤɬɨɪɚ |
||||||||||
¨ |
d |
¸. |
|||||||||||
|
|
|
© c |
¹ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ȼɚɪɢɚɧɬɵ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) a |
2,b |
1,c |
1, d |
2 , 2) a |
1,b |
0,c |
1, d |
2 , |
|
||||
3) a |
1,b |
2,c |
0, d |
|
1, 4) a |
1,b |
2,c |
|
0.5, d |
1, |
|||
5) a |
1,b 3,c |
0, d |
|
2 , 6) a |
1,b |
2,c |
2, d |
1, |
|||||
7) a |
1,b |
4,c |
1, d |
1, 8) a |
2,b 4,c |
0, d |
1, |
|
|||||
9) a |
3,b |
2,c |
0, d |
|
1, 10) a |
2,b 2,c |
1, d |
2, |
|||||
11) a |
1,b |
2,c |
0, d |
|
2, 12) a |
1,b |
0,c |
3, d |
1, |
||||
13) a |
2,b 2,c |
0, d |
3 , 14) a |
2,b |
|
2,c |
0.5, d 2 , |
||||||
15) a |
2,b |
3,c |
3, d |
2 , 16) a |
1,b |
3,c |
3, d |
1. |
|||||