численные методыА.Б. САМОХИН, В.В. ЧЕРДЫНЦЕВ, А.А. ВОРОНЦОВ

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Вуз:

МИРЭА - Российский технологический университет

Предмет:

Вычислительная математика

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ɡɭɥɶɬɚɬɟ ɭɱɢɬɵɜɚɹ ɱɬɨ h

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☆

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ɬɨ ɫɤɨɪɨɫɬɶ ɫɯɨɞɢɦɨɫɬɢ ɢɬɟɪɚɰɢɨɧɧɨɝɨ ɩɪɨɰɟɫɫɚ ɨɩɪɟɞɟɥɹɟɬɫɹ ɩɨɤɚɡɚɬɟɥɟɦ r ɉɪɢ r 1 ɫɤɨɪɨɫɬɶ ɫɯɨɞɢɦɨɫɬɢ ɥɢɧɟɣɧɚɹ ɩɪɢ r 2 – ɤɜɚɞɪɚɬɢɱɧɚɹ ɩɪɢ 1 r 2 — ɫɜɟɪɯɥɢɧɟɣɧɚɹ ȿɫɥɢ ɭɫɬɚɧɚɜɥɢɜɚɟɬɫɹ ɩɪɢ n o f ɬɨ ɫɤɨɪɨɫɬɶ ɫɯɨɞɢɦɨɫɬɢ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɚɫɢɦɩɬɨɬɢɱɟɫɤɨɣ

ȼ ɫɥɭɱɚɟ ɦɟɬɨɞɚ ɩɪɨɫɬɵɯ ɢɬɟɪɚɰɢɣ

| x x* | | I(x ) I(x* ) |d M | x x* | ɢɥɢ 'x d q'x ,

n 1 n 1 n n 1 n

ɬɨ ɟɫɬɶ ɫɤɨɪɨɫɬɶ ɫɯɨɞɢɦɨɫɬɢ ɫɨ ɡɧɚɦɟɧɚɬɟɥɟɦ q M1 ɩɨ ɦɟɧɶ

ɲɟɣ ɦɟɪɟ ɥɢɧɟɣɧɚɹ ɨɞɧɚɤɨ ɨɧɚ ɦɨɠɟɬ ɛɵɬɶ ɜɵɲɟ ɜ ɤɨɧɤɪɟɬɧɨɣ ɪɟɚɥɢɡɚɰɢɢ Ɂɚɦɟɬɢɦ ɱɬɨ ɤɨɧɬɪɨɥɢɪɭɟɦɵɟ ɜ ɩɪɨɰɟɫɫɟ ɜɵɱɢɫɥɟ ɧɢɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ 'xn 1 ɢ 'xn ɜ ɨɛɳɟɦ ɫɥɭɱɚɟ ɩɪɨɫɬɨɣ ɢɬɟɪɚɰɢɢ

ɬɚɤɠɟ ɫɜɹɡɚɧɵ ɦɟɠɞɭ ɫɨɛɨɣ ɜ ɩɟɪɜɨɦ ɩɪɢɛɥɢɠɟɧɢɢ ɚɧɚɥɨɝɢɱɧɵɦ ɧɟɪɚɜɟɧɫɬɜɨɦ

| 'xn 1 | I(xn ) I(xn 1) |d q'xn .

(3.4.2)

ɇɟɫɦɨɬɪɹ ɧɚ ɫɯɨɠɟɫɬɶ ɜɵɪɚɠɟɧɢɣ ɞɥɹ ɦɟɬɨɞɚ ɯɨɪɞ ɢ ɫɟɤɭɳɢɯ ɫɤɨɪɨɫɬɶ ɢɯ ɫɯɨɞɢɦɨɫɬɢ ɪɚɡɥɢɱɧɚ Ɍɚɤ ɞɥɹ ɦɟɬɨɞɚ ɯɨɪɞ ɩɨɥɭɱɢɦ

ɪɚɡɥɚɝɚɹ ɜɵɪɚɠɟɧɢɟ ɞɥɹ I(x) ɜ ɬɨɱɤɟ x* ɜ ɪɹɞ Ɍɟɣɥɨɪɚ ɢ ɨɝɪɚɧɢ ɱɢɜɚɹɫɶ ɬɪɟɦɹ ɫɥɚɝɚɟɦɵɦɢ

xn 1 x*

xn x*

)(xn

f (x

) f (x

x ) f

x ) / 2

xn c .

f c(x* ) xn c f cc(xn )((xn x* )2 (c x* )2 ) / 2

ɍɱɢɬɵɜɚɹ ɱɬɨ f (x* ) { 0 ɫɨɤɪɚɳɚɹ ɜ ɱɢɫɥɢɬɟɥɟ ɢ ɡɧɚɦɟɧɚɬɟɥɟ

)(xn c) ɢ ɪɚɡɥɚɝɚɹ ɡɧɚɦɟɧɚɬɟɥɶ ɜ ɪɹɞ ɩɨɥɭɱɢɦ

f (x

xn 1

f (x)

(xn

x* )(c x* ) .

(3.4.3)

2 f c

Ɉɰɟɧɤɚ ɫ ɭɱɟɬɨɦ ɬɨɝɨ ɱɬɨ ɪɚɫɫɬɨɹɧɢɟ ɦɟɠɞɭ ɬɨɱɤɚɦɢ x*

ɢ c ɦɟɧɶɲɟ ɞɥɢɧɵ ɢɧɬɟɪɜɚɥɚ ɢɡɨɥɹɰɢɢ ɞɚɟɬ

| x

M 2

(b a) | (x

x* ) | ,

(3.4.4)

n 1

2M1

ɬɨ ɟɫɬɶ ɫɤɨɪɨɫɬɶ ɫɯɨɞɢɦɨɫɬɢ ɥɢɧɟɣɧɚɹ

ȼ ɦɟɬɨɞɟ ɫɟɤɭɳɢɯ ɜ ɜɵɪɚɠɟɧɢɢ c ɧɟɨɛɯɨɞɢɦɨ ɡɚɦɟɧɢɬɶ ɧɚ xn 1 ɉɪɟɞɩɨɥɨɠɢɦ ɱɬɨ ɫɨɨɬɧɨɲɟɧɢɟ ɞɥɹ ɫɤɨɪɨɫɬɢ ɫɯɨɞɢɦɨɫɬɢ

ɢɦɟɟɬ ɜɢɞ

*	§	f	cc		t		r
			(x) ·		*			.
xn 1 x	¨			¸	(xn x	)
		2 f c
	©			¹

ɉɨɞɫɬɚɜɥɹɹ ɩɨɥɭɱɟɧɧɨɟ ɢɡ ɧɟɝɨ ɜɵɪɚɠɟɧɢɟ ɞɥɹ (xn 1 x* ) ɜɩɨɥɭɱɢɦ ɞɥɹ ɫɬɟɩɟɧɟɣ r ɢ t :

r 1 1	ɢ r t	1, r \|1,62 , t \| 0,62.
r

Ɍɚɤɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ ɫɯɨɞɢɦɨɫɬɶ ɦɟɬɨɞɚ ɫɟɤɭɳɢɯ ɫɜɟɪɯɥɢɧɟɣɧɚɹ Ⱦɥɹ ɦɟɬɨɞɚ ɤɚɫɚɬɟɥɶɧɵɯ ɜɵɱɢɬɚɹ ɢɡ ɥɟɜɨɣ ɢ ɩɪɚɜɨɣ ɱɚɫɬɢ

ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɤɨɪɧɹ ɢ ɪɚɡɥɚɝɚɹ ɮɭɧɤɰɢɸ ɜ ɪɹɞ ɩɨɥɭɱɢɦ

c *

/ 2

f (x ) f (x )(xn x ) f (x )(xn x )

x x

n 1

f c(xn )

Ɉɬɤɭɞɚ

M 2

| x

x* |d

(x x* )2

(3.4.4)

n 1

2M1

ɬɨ ɟɫɬɶ ɫɯɨɞɢɦɨɫɬɶ ɦɟɬɨɞɚ ɤɚɫɚɬɟɥɶɧɵɯ ɤɜɚɞɪɚɬɢɱɧɚɹ Ɇɟɬɨɞ ɯɨɪɞ ɢɫɩɨɥɶɡɭɟɬɫɹ ɜ ɬɟɯ ɫɥɭɱɚɹɯ ɤɨɝɞɚ ɚɧɚɥɢɡ ɩɨɜɟɞɟ

ɧɢɹ ɜɬɨɪɨɣ ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɨɣ ɡɚɬɪɭɞɧɟɧ Ɇɟɬɨɞ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɛɟɡɭɫɥɨɜɧɨ ɫɯɨɞɹɳɢɦɫɹ ɬɚɤ ɠɟ ɤɚɤ ɢ ɢɡɜɟɫɬɧɵɣ ɦɟɬɨɞ ɞɢɯɨɬɨɦɢɢ — ɞɟɥɟɧɢɹ ɨɬɪɟɡɤɚ ɥɨɤɚɥɢɡɚɰɢɢ ɤɨɪɧɹ ɩɨɩɨɥɚɦ Ɉɛɚ ɦɟɬɨɞɚ ɨɛɥɚɞɚɸɬ ɥɢɧɟɣ ɧɨɣ ɫɤɨɪɨɫɬɶɸ ɫɯɨɞɢɦɨɫɬɢ ɢ ɡɧɚɦɟɧɚɬɟɥɹɦɢ ɫɯɨɞɢɦɨɫɬɢ ɫɨɨɬɜɟɬ

ɫɬɜɟɧɧɨ q	M 2	(b a) ɢ q (0.5,1) .

	2M1

ȿɫɥɢ ɬɨɱɤɢ ɩɟɪɟɝɢɛɚ ɧɚ ɢɧɬɟɪɜɚɥɟ ɢɡɨɥɹɰɢɢ ɧɟɬ ɬɨ ɢɫɩɨɥɶɡɭ ɟɬɫɹ ɦɟɬɨɞ ɫɟɤɭɳɢɯ ȿɫɥɢ ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɟ ɩɟɪɜɨɣ ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɨɣ ɧɟ ɬɪɟɛɭɟɬ ɡɧɚɱɢɬɟɥɶɧɨɝɨ ɦɚɲɢɧɧɨɝɨ ɜɪɟɦɟɧɢ ɢ ɨɬɫɭɬɫɬɜɭɟɬ ɬɨɱɤɚ ɩɟɪɟɝɢɛɚ ɬɨ ɰɟɥɟɫɨɨɛɪɚɡɧɨ ɩɪɢɦɟɧɹɬɶ ɫɚɦɵɣ ɛɵɫɬɪɵɣ ɦɟɬɨɞ ɢɡ ɪɚɫɫɦɨɬɪɟɧɧɵɯ — ɦɟɬɨɞ ɇɶɸɬɨɧɚ ɤɚɫɚɬɟɥɶɧɵɯ

Ɋɚɫɫɦɨɬɪɟɧɧɵɟ ɦɟɬɨɞɵ ɫɯɨɞɹɬɫɹ ɚɛɫɨɥɸɬɧɨ ɩɪɢ ɨɬɫɭɬɫɬɜɢɢ ɬɨɱɤɢ ɩɟɪɟɝɢɛɚ

3.5. ɍɫɥɨɜɢɟ ɜɵɯɨɞɚ ɢɡ ɜɵɱɢɫɥɢɬɟɥɶɧɨɝɨ ɩɪɨɰɟɫɫɚ ɩɨ ɡɚɞɚɧɧɨɣ ɬɨɱɧɨɫɬɢ ɜ ɦɟɬɨɞɚɯ ɩɪɨɫɬɨɣ ɢɬɟɪɚɰɢɢ

ɉɨɤɚɠɟɦ ɩɪɚɤɬɢɱɟɫɤɢɣ ɫɩɨɫɨɛ ɜɵɯɨɞɚ ɢɡ ɩɪɨɰɟɫɫɚ ɢɬɟɪɚɰɢɣ ɝɚɪɚɧɬɢɪɭɸɳɢɣ ɞɨɫɬɢɠɟɧɢɟ ɡɚɞɚɧɧɨɣ ɬɨɱɧɨɫɬɢ ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɣ ɜ ɨɛɳɟɦ ɫɥɭɱɚɟ ɩɪɨɫɬɨɣ ɢɬɟɪɚɰɢɢ ɫɨ ɡɧɚɦɟɧɚɬɟɥɟɦ q ɋɱɢɬɚɟɬɫɹ

ɱɬɨ ɤɨɪɟɧɶ ɧɚ n -ɣ ɢɬɟɪɚɰɢɢ ɜɵɱɢɫɥɟɧ ɫ ɬɨɱɧɨɫɬɶɸ H, ɟɫɥɢ 'xn d H. Ʉɨɧɬɪɨɥɸ ɠɟ ɜ ɩɪɨɰɟɫɫɟ ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɣ ɩɨɞɞɚɺɬɫɹ ɜɟɥɢɱɢɧɚ 'xn . ɍɫ

ɬɚɧɨɜɢɜ ɫɜɹɡɶ ɦɟɠɞɭ ɷɬɢɦɢ ɜɟɥɢɱɢɧɚɦɢ ɦɵ ɩɨɥɭɱɢɦ ɜɨɡɦɨɠɧɨɫɬɶ ɩɪɨɜɨɞɢɬɶ ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɹ ɫ ɡɚɞɚɧɧɨɣ ɬɨɱɧɨɫɬɶɸ Ɂɚɦɟɬɢɦ ɱɬɨ

x	x	o 'x	ɩɪɢ k o f Ⱦɚɥɟɟ ɭɱɢɬɵɜɚɹ ɧɟɪɚɜɟɧɫɬɜɨ ɬɪɟ

n k	n	n

ɭɝɨɥɶɧɢɤɚ ɢ :

xn k xn d 'xn k 'xn k 1 ... 'xn 1 d qk 'xn qk 1'xn 1 ... q'xn

q(1 q ... qk 1)'x	q(1 qk )		'x .
q(1 q ... qk 1)'x			'x .
n	1 q			n
	1 q
ɉɪɢ k o f ɩɨɥɭɱɚɟɦ			q
	'x		q		'x .
	'x				'x .
	n	1 q				n
Ɍɚɤɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ ɬɪɟɛɨɜɚɧɢɟ		1 q
Ɍɚɤɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ ɬɪɟɛɨɜɚɧɢɟ				1 q
	'x		d	1 q			H	(3.5.1)
	'x		d				H	(3.5.1)
	n				q
					q

ɨɛɟɫɩɟɱɢɜɚɟɬ ɡɚɞɚɧɧɭɸ ɬɨɱɧɨɫɬɶ ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɣ H.

3.6. ɉɪɢɦɟɪ ɢ ɡɚɞɚɧɢɟ ɞɥɹ ɩɪɚɤɬɢɱɟɫɤɢɯ ɡɚɧɹɬɢɣ

ɉɪɢɦɟɪ ɇɚɣɬɢ ɦɟɬɨɞɨɦ ɯɨɪɞ ɤɚɫɚɬɟɥɶɧɵɯ ɢ ɩɪɨɫɬɨɣ ɢɬɟɪɚɰɢɢ ɤɨɪɧɢ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ

x3 Kx L 0, Ʉ=20, L=10.

(3.6.1)

Ʉɚɠɞɵɣ ɤɨɪɟɧɶ ɢɫɤɚɬɶ ɨɞɧɢɦ ɢɡ ɩɪɟɞɥɨɠɟɧɧɵɯ ɦɟɬɨɞɨɜ Ⱦɥɹ ɷɬɨɝɨ ɜɧɚɱɚɥɟ ɧɟɨɛɯɨɞɢɦɨ ɨɬɞɟɥɢɬɶ ɤɨɪɧɢ ɢ ɜɵɛɪɚɬɶ ɦɟɬɨɞ ɪɟɲɟ ɧɢɹ Ɋɟɤɨɦɟɧɞɭɟɦɵɣ ɩɥɚɧ ɪɟɲɟɧɢɹ ɩɪɢɜɨɞɢɬɫɹ ɧɢɠɟ.

1) ɇɚɯɨɞɹɬɫɹ ɩɟɪɜɚɹ ɢ ɜɬɨɪɚɹ ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɵɟ

c	2	cc
f (x) 3x		K , f (x) 6x .

Ɉɱɟɜɢɞɧɨ ɱɬɨ ɤɨɪɧɢ ɟɫɥɢ ɨɧɢ ɫɭɳɟɫɬɜɭɸɬ ɪɚɫɩɨɥɨɠɟɧɵ ɥɟɜɟɟ ɦɟɠɞɭ ɢ ɩɪɚɜɟɟ ɬɨɱɟɤ ɷɤɫɬɪɟɦɭɦɚ ɮɭɧɤɰɢɢ

x	r	K	\| r2,582 .

1,2	3

ȼɵɛɢɪɚɸɬɫɹ ɬɪɢ ɢɧɬɟɪɜɚɥɚ >a,b@ ɢ ɩɪɨɜɟɪɹɟɬɫɹ ɭɫɥɨɜɢɟ ɧɚ ɤɚɠɞɨɦ ɢɧɬɟɪɜɚɥɟ

Ⱦɥɹ ɦɟɬɨɞɚ ɩɪɨɫɬɵɯ ɢɬɟɪɚɰɢɣ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɩɪɟɨɛɪɚɡɭɟɬɫɹ ɤ

ɢɬɟɪɚɰɢɨɧɧɨɦɭ ɜɢɞɭ x	3	Kx	L	3	20x	10	ɢ ɜɵɛɢɪɚɟɬɫɹ
k 1		k			k

ɢɧɬɟɪɜɚɥ >a,b]= [3,5@ ɧɚ ɤɨɬɨɪɨɦ ɩɪɨɜɟɪɹɟɬɫɹ ɜɵɩɨɥɧɟɧɢɟ ɭɫɥɨɜɢɹȼ ɤɚɱɟɫɬɜɟ ɧɚɱɚɥɶɧɨɝɨ ɡɧɚɱɟɧɢɹ ɜɵɛɢɪɚɟɬɫɹ x0 3 ɬɨɝɞɚ ɩɨ

ɩɨɥɭɱɚɟɬɫɹ x1 4,12 , x2 4,52 .

Ⱦɥɹ ɦɟɬɨɞɚ ɯɨɪɞ ɜɵɛɢɪɚɟɬɫɹ ɢɧɬɟɪɜɚɥ >a,b]= [-3, @ ɢ ɩɪɨɜɟ ɪɹɟɬɫɹ f (3) f ( 3) 43 23 0 ɧɟɩɨɞɜɢɠɧɨɣ ɬɨɱɤɢ ɧɚ ɷɬɨɦ ɢɧɬɟɪɜɚɥɟ ɧɟ ɫɭɳɟɫɬɜɭɟɬ ɩɨɷɬɨɦɭ ɤɚɠɞɵɣ ɪɚɡ ɧɚɯɨɞɢɬɫɹ ɧɨɜɵɣ ɢɧɬɟɪɜɚɥ ɢɡ ɭɫɥɨɜɢɹ ɜ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɟ ɩɪɢɦɟɧɹɹ ɩɨɥɭɱɢɦ ɞɜɚ ɩɨɫɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɵɯ ɩɪɢɛɥɢɠɟɧɧɵɯ ɡɧɚɱɟɧɢɹ ɤɨɪɧɹ x1 0,91,

x2 0,33.

4) Ⱦɥɹ ɦɟɬɨɞɚ ɤɚɫɚɬɟɥɶɧɵɯ ɜɵɛɢɪɚɟɬɫɹ ɢɧɬɟɪɜɚɥ >a,b]= [-3,-5] ɢ ɩɪɨɜɟɪɹɟɬɫɹ ɜɵɩɨɥɧɟɧɢɟ ɭɫɥɨɜɢɹ f ( 5) f ( 3) 35 23 0,

ɜɵɛɢɪɚɟɬɫɹ	ɧɚɱɚɥɶɧɚɹ	ɬɨɱɤɚ	ɢɡ	ɭɫɥɨɜɢɹ
cc	( 35)( 30) ! 0 ɉɨ ɮɨɪɦɭɥɟ ɩɪɨɜɨɞɹɬɫɹ ɞɜɟ
f ( 5) f ( 5)	( 35)( 30) ! 0 ɉɨ ɮɨɪɦɭɥɟ ɩɪɨɜɨɞɹɬɫɹ ɞɜɟ
ɢɬɟɪɚɰɢɢ x1	4,36 , x2	4, 21.

ȼɚɪɢɚɧɬɵ ɞɥɹ ɩɪɚɤɬɢɱɟɫɤɢɯ ɢ ɥɚɛɨɪɚɬɨɪɧɵɯ ɡɚɧɹɬɢɣ ɩɪɢɜɟɞɟ ɧɵ ɜ ɬɚɛɥ Ⱦɥɹ ɥɚɛɨɪɚɬɨɪɧɵɯ ɡɚɧɹɬɢɣ ɫɥɟɞɭɟɬ ɝɪɚɮɢɱɟɫɤɢ ɥɨ ɤɚɥɢɡɨɜɚɬɶ ɤɨɪɧɢ ɡɚɬɟɦ ɭɬɨɱɧɢɬɶ ɤɨɪɧɢ ɡɚɞɚɧɧɵɦɢ ɦɟɬɨɞɚɦɢ ɫ

ɬɨɱɧɨɫɬɶɸ H 10 15 ɜɵɱɢɫɥɢɬɶ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɮɭɧɤɰɢɢ ɜ ɤɚɠɞɨɦ ɧɚɣ ɞɟɧɧɨɦ ɤɨɪɧɟ

Ɍɚɛɥɢɰɚ

ʋ	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
Ʉ	2,3	5,3	3,2	4,2	4,5	3,8	2,8	2,5	3,4	3,9	4,3	4,7	4,9	5,1	2,5	4,8
L	4,9	2,9	1,5	2,1	1,9	1,6	1,0	0,8	1,7	2,3	2,1	2,3	2,6	1,8	0,8	1,6

			25
		ɑɂɋɅȿɇɇɈȿ ɂɇɌȿȽɊɂɊɈȼȺɇɂȿ
ɐɟɥɶ –		ɩɪɢɛɥɢɠɟɧɧɨ	ɜɵɱɢɫɥɢɬɶ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɧɵɣ ɢɧɬɟɝɪɚɥ
b
I ³	f (x)dx ɧɚ >a,b].
a
ɉɨ ɬɟɨɪɟɦɟ ɇɶɸɬɨɧɚ – Ʌɟɣɛɧɢɰɚ ɨɧ ɪɚɜɟɧ ɪɚɡɧɨɫɬɢ ɜɟɪɯɧɟɝɨ
ɢ	ɧɢɠɧɟɝɨ ɩɪɟɞɟɥɨɜ		ɩɟɪɜɨɨɛɪɚɡɧɨɣ ɮɭɧɤɰɢɢ f (x) –
F (x)	c	f (x)) ɇɨ ɞɥɹ ɬɚɛɥɢɱɧɵɯ ɮɭɧɤɰɢɣ ɢɯ ɩɟɪɜɨɨɛɪɚɡɧɚɹ
F (x)	(F (x)	f (x)) ɇɨ ɞɥɹ ɬɚɛɥɢɱɧɵɯ ɮɭɧɤɰɢɣ ɢɯ ɩɟɪɜɨɨɛɪɚɡɧɚɹ

ɧɟ ɫɭɳɟɫɬɜɭɟɬ ɢ ɞɚɠɟ ɞɥɹ ɢɡɜɟɫɬɧɵɯ f (x) ɧɟ ɜɫɟɝɞɚ ɩɪɟɞɫɬɚɜɢɦɚ ɜ ɜɢɞɟ ɤɨɦɛɢɧɚɰɢɣ ɷɥɟɦɟɧɬɚɪɧɵɯ ɮɭɧɤɰɢɣ

	ɂɧɬɟɝɪɚɥ ɝɟɨɦɟɬɪɢɱɟɫɤɢ ɪɚɜɟɧ ɩɥɨɳɚɞɢ ɤɪɢɜɨɥɢɧɟɣɧɨɣ ɬɪɚ
ɩɟɰɢɢ
~	ȼ ɱɢɫɥɟɧɧɵɯ ɦɟɬɨɞɚɯ ɢɧɬɟɝɪɚɥ ɢɳɟɬɫɹ ɜ ɜɢɞɟ ɤɜɚɞɪɚɬɭɪɵ
~	n
I	¦ Ai f (xi ) ɇɟɨɛɯɨɞɢɦɨ ɧɚɣɬɢ ɨɩɬɢɦɚɥɶɧɵɦ ɨɛɪɚɡɨɦ Ai ɢ xi .
	i 0

Ɉɛɵɱɧɨ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɵ ɩɨɞɛɢɪɚɸɬɫɹ ɬɚɤ ɱɬɨɛɵ ɤɜɚɞɪɚɬɭɪɚ ɞɚ ɜɚɥɚ ɬɨɱɧɨɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɞɥɹ ɩɨɥɢɧɨɦɚ ɦɚɤɫɢɦɚɥɶɧɨ ɜɨɡɦɨɠɧɨɣ ɫɬɟɩɟɧɢ

Ɇɟɬɨɞ ɇɶɸɬɨɧɚ — Ʉɨɬɟɫɚ

ɉɪɟɞɩɨɥɚɝɚɟɬɫɹ ɱɬɨ ɡɧɚɱɟɧɢɹ ɚɪɝɭɦɟɧɬɨɜ ɢɡɜɟɫɬɧɵ ɢ ɪɚɫɩɨ ɥɨɠɟɧɵ ɪɚɜɧɨɦɟɪɧɨ Ɍɪɟɛɭɟɬɫɹ ɧɚɣɬɢ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɵ Ⱥ.

Ɋɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɢɧɬɟɪɜɚɥ [[0 ,[n ] , [i [0 hi .

ɇɚ ɢɧɬɟɪɜɚɥɟ [[0 ,[n ] ɡɚɦɟɧɢɦ f (x) ɢɧɬɟɪɩɨɥɹɰɢɨɧɧɵɦ ɩɨɥɢɧɨ ɦɨɦ Ʌɚɝɪɚɧɠɚ ɩɨɞɫɬɚɜɥɹɹ ɜ ɧɟɝɨ ɩɟɪɟɦɟɧɧɭɸ q, ɪɚɜɧɭɸ

[ [

a ·

n i

¨ h

¸ ɩɨɥɭɱɢɦ Pn (q)

¦ yi

[q j]' ,

i 0

i! n i ! j 0

ɝɞɟ ɲɬɪɢɯ ɨɡɧɚɱɚɟɬ ɨɬɫɭɬɫɬɜɢɟ ɜ ɩɪɨɢɡɜɟɞɟɧɢɢ ɫɨɦɧɨɠɢɬɟɥɹ ɫ j=i

[n	[n	Pn ([)d[	n
³	f ([)d[ \| ³	Pn ([)d[	¦ yi Ai ,
[0	[0		i 0

ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɵ Ⱥi ɪɚɜɧɵ

n i

>n 1@

b a Hi ,

(4.1.1)

q i

i!(n i)!0

ɝɞɟ Hi – ɧɟ ɡɚɜɢɫɹɳɢɟ ɨɬ ɢɧɬɟɪɜɚɥɚ >a,b] ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɵ Ʉɨɬɟɫɚ

ȼ ɞɚɥɶɧɟɣɲɟɦ ɪɚɫɫɦɚɬɪɢɜɚɟɬɫɹ ɪɚɜɧɨɦɟɪɧɚɹ ɫɟɬɤɚ ɭɡɥɨɜ ɫ ɲɚ ɝɨɦ h.

Ɇɟɬɨɞ ɩɪɹɦɨɭɝɨɥɶɧɢɤɨɜ

ɋɬɟɩɟɧɶ ɩɨɥɢɧɨɦɚ n = 0 P0 ([) const Ʉɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬ Ʉɨɬɟɫɚɩɪɢ n ɜɵɱɢɫɥɹɟɬɫɹ ɤɚɤ ɩɪɟɞɟɥɶɧɵɣ ɩɟɪɟɯɨɞ ɩɪɢ n o 0 ) ɪɚɜɟɧ ɂɧɬɟɪɜɚɥ >[0 ,[n @ ɧɟɨɩɪɟɞɟɥɟɧ ɬɚɤ ɤɚɤ ɟɫɬɶ ɬɨɥɶɤɨ ɨɞɧɚ ɬɨɱɤɚ – [0 Ƚɟɨɦɟɬɪɢɱɟɫɤɢ ɷɬɨ ɨɛɨɡɧɚɱɚɟɬ ɱɬɨ f(x) ɡɚɦɟɧɹɟɬɫɹ ɧɚ

ɢɧɬɟɪɜɚɥɟ ɤɚɤɢɦ-ɬɨ ɡɧɚɱɟɧɢɟɦ ɨɪɞɢɧɚɬɵ ȿɫɥɢ ɢɧɬɟɪɜɚɥ >a, b@ ɜɟ ɥɢɤ ɬɨ ɟɝɨ ɪɚɡɛɢɜɚɸɬ ɬɨɱɤɚɦɢ xi ɧɚ n ɢɧɬɟɪɜɚɥɨɜ ɢ ɧɚ ɤɚɠɞɨɦ

ɩɪɢɦɟɧɹɸɬ ɦɟɬɨɞ ɩɪɹɦɨɭɝɨɥɶɧɢɤɨɜ Ⱦɥɹ ɩɟɪɜɨɝɨ ɢɧɬɟɪɜɚɥɚ ɩɪɢ ɛɥɢɠɟɧɧɨɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɢɧɬɟɝɪɚɥɚ ɪɚɜɧɨ f (x)(x1 x0 ) ɝɞɟ x >x0 , x1 @.

ȼ ɤɚɱɟɫɬɜɟ x ɨɛɵɱɧɨ ɩɪɢɦɟɧɹɸɬ

x0 — ɦɟɬɨɞ ɥɟɜɵɯ ɩɪɹɦɨɭɝɨɥɶɧɢɤɨɜ x1 — ɦɟɬɨɞ ɩɪɚɜɵɯ ɩɪɹɦɨɭɝɨɥɶɧɢɤɨɜ

ɇɚ > x1, x2 @ ɩɨɜɬɨɪɹɸɬ ɬɭ ɠɟ ɩɪɨɰɟɞɭɪɭ ɢ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬ ɫɭɦɦɢɪɭɸɬ:

n 1

Iɥ ɩ

h ¦ f (xi ) ,

Iɩ ɩ

h ¦ f (xi ) .

(4.2.1)

h ɪɚɜɧɚ

ɉɨɝɪɟɲɧɨɫɬɶ

ɦɟɬɨɞɚ

ɧɚ ɢɧɬɟɪɜɚɥɟ

ɞɥɢɧɨɣ

x h

R(h)

³ f (t)dt f (x)h ,

ɪɚɡɥɚɝɚɹ ɩɨɞɵɧɬɟɝɪɚɥɶɧɭɸ ɮɭɧɟɰɢɸ ɜ

ɪɹɞ Ɍɟɣɥɨɪɚ ɩɨɥɭɱɢɦ

x h

R(h)

³ ( f (x)

f (x)(t x))dt f (x)h

f (x)

, T >x, x h@.

Ⱥɛɫɨɥɸɬɧɚɹ ɩɨɝɪɟɲɧɨɫɬɶ ɧɚ n ɢɧɬɟɪɜɚɥɚɯ ɫɭɦɦɢɪɭɟɬɫɹ ȼ ɪɟ

ɝɞɟ M1 max | f c(x) |.

Ɇɟɬɨɞ ɬɪɚɩɟɰɢɣ

ɇɚ ɱɚɫɬɢɱɧɨɦ ɢɧɬɟɪɜɚɥɟ ɮɭɧɤɰɢɹ ɡɚɦɟɧɹɟɬɫɹ ɥɢɧɟɣɧɨɣ ɬ ɟ

	1		1		1	1		xi , xi 1
n=1. H0	³ (q 1)dq			, H1	³ qdq		ɇɚ ɢɧɬɟɪɜɚɥɟ		ɡɚ
			2			2
	0				0
ɦɟɧɹɹ f(x)	ɧɚ	P1(x) ɩɨɥɭɱɢɦ ɞɥɹ ɪɚɜɧɨɨɬɫɬɨɹɳɢɯ ɭɡɥɨɜ
I h( fi fi 1) / 2 .		Ɍɨ ɟɫɬɶ ɩɥɨɳɚɞɶ ɤɪɢɜɨɥɢɧɟɣɧɨɣ ɬɪɚɩɟɰɢɢ ɡɚ

ɦɟɧɟɧɚ ɩɥɨɳɚɞɶɸ ɩɪɹɦɨɭɝɨɥɶɧɨɣ ɬɪɚɩɟɰɢɢ.

ɋɭɦɦɢɪɭɹ ɩɨ ɜɫɟɦ ɢɧɬɟɪɜɚɥɚɦ ɩɪɢɯɨɞɢɦ ɤ ɜɵɪɚɠɟɧɢɸ

h n 1

Iɬɪ

¦ ( fi

fi ) ɜ ɤɨɬɨɪɨɦ ɜɧɭɬɪɟɧɧɢɟ ɨɪɞɢɧɚɬɵ ɜɫɬɪɟɱɚɟɬɫɹ

2 i 0

ɞɜɚɠɞɵ Ɉɤɨɧɱɚɬɟɥɶɧɨ ɩɨɥɭɱɢɦ

n 1

Iɬɪ (( f (a) f (b) / 2

fi )h .

(4.3.1)

i 1

Ɇɟɠɞɭ ɦɟɬɨɞɨɦ ɬɪɚɩɟɰɢɣ ɢ ɦɟɬɨɞɨɦ ɩɪɹɦɨɭɝɨɥɶɧɢɤɨɜ ɫɭɳɟ

ɫɬɜɭɟɬ ɩɪɨɫɬɚɹ ɫɜɹɡɶ

Iɥ ɩ Iɩ ɩ

Iɬɪ

(4.3.2)

ɉɨɝɪɟɲɧɨɫɬɶ ɦɟɬɨɞɚ

x h

R ³

fdx

( f (x)

f (x h)) ,

ɪɚɡɥɚɝɚɹ ɮɭɧɤɰɢɢ ɜ ɪɹɞ Ɍɟɣɥɨɪɚ ɩɨɥɭɱɢɦ

R(h)

x h

)dt

³ ( f (x) f (x)(t x)

(x)(t x)

( f (x) f (x) f c(x)h

f cc(x)) f cc(x)

ɉɨɝɪɟɲɧɨɫɬɶ ɧɚ ɢɧɬɟɪɜɚɥɟ ɢɧɬɟɝɪɢɪɨɜɚɧɢɹ ɟɫɬɶ ɫɭɦɦɚ ɩɨ ɝɪɟɲɧɨɫɬɢ ɧɚ ɤɚɠɞɨɦ ɱɚɫɬɢɱɧɨɦ ɢɧɬɟɪɜɚɥɟ ɜ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɟ ɩɨɥɭɱɢɦ

								28
\| I Iɬɪ	\|d	(b a)3			M , M	max \| f cc \|. Ɉɱɟɜɢɞɧɨ ɱɬɨ ɦɟɬɨɞ ɬɪɚɩɟ
\| I Iɬɪ	\|d		12n2		M , M	max \| f cc \|. Ɉɱɟɜɢɞɧɨ ɱɬɨ ɦɟɬɨɞ ɬɪɚɩɟ
			12n2
ɰɢɣ ɬɨɱɟɧ ɞɥɹ ɥɢɧɟɣɧɨɣ ɮɭɧɤɰɢɢ
			Ɇɟɬɨɞ ɩɚɪɚɛɨɥ (ɦɟɬɨɞ ɋɢɦɩɫɨɧɚ
ɋɬɟɩɟɧɶ ɩɨɥɢɧɨɦɚ n ɪɚɜɧɚ ɞɜɭɦ										Ɋɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɢɧɬɟɪɜɚɥ ɞɥɢ
ɧɨɣ 2h: >xi 1, xi 1 @ Ʉɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɵ Ʉɨɬɟɫɚ ɪɚɜɧɵ
			1	2				1		1		2	2
	H0			³ (q 1)(q 2)dq				1	, H1			³ q(q 2)dq	2	,
	H0			³ (q 1)(q 2)dq				6	, H1			³ q(q 2)dq	3	,
			4	0			2	6		2		0	3
						1	2				1
					H2		³ (q 1)qdq				1	.
					H2		³ (q 1)qdq			6		.
						4	0			6

ȼ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɟ ɤɜɚɞɪɚɬɭɪɧɚɹ ɮɨɪɦɭɥɚ ɢɦɟɟɬ ɜɢɞ

x h	h
³ f (t)dt		( f (x h) 4 f (x) f (x h)) .
	3
x h

Ⱦɥɹ ɩɪɢɦɟɧɟɧɢɹ ɦɟɬɨɞɚ ɩɚɪɚɛɨɥ ɧɚ >a , b@ ɟɝɨ ɧɟɨɛɯɨɞɢɦɨ ɪɚɡɛɢɬɶ ɧɚ 2n ɢɧɬɟɪɜɚɥɚ ɬ ɟ ɱɢɫɥɨ ɢɧɬɟɪɜɚɥɨɜ ɞɨɥɠɧɨ ɛɵɬɶ ɱɟɬ ɧɨ ɉɪɢ ɫɭɦɦɢɪɨɜɚɧɢɢ ɩɨ ɱɚɫɬɢɱɧɵɦ ɢɧɬɟɪɜɚɥɚɦ ɜɧɭɬɪɟɧɧɢɟ ɱɟɬ ɧɵɟ ɬɨɱɤɢ ɭɞɜɚɢɜɚɸɬɫɹ ȼ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɟ ɨɤɨɧɱɚɬɟɥɶɧɚɹ ɮɨɪɦɭɥɚ ɢɦɟɟɬ ɜɢɞ

n 1

ɩɚɪ

h(( f

) / 2 2

¦ f

) ,

(4.4.1)

i 1

ɝɞɟ f0 f (a) , f2n

f (b) .

Ɉɰɟɧɤɚ ɬɨɱɧɨɫɬɢ ɦɟɬɨɞɚ ɩɚɪɚɛɨɥ

R	xi³ 1 yf (t)dt	h	( f (x h) 4 f (x) f (x h)) ,
		3
	xi 1

ɢ ɪɚɡɥɚɝɚɹ ɮɭɧɤɰɢɢ ɜ ɪɹɞ Ɍɟɣɥɨɪɚ ɞɨ ɱɟɬɜɟɪɬɨɣ ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɨɣ ɩɨ ɥɭɱɢɦ

Rh5 f IV (x). 90

ɉɨɝɪɟɲɧɨɫɬɶ R ɡɚɜɢɫɢɬ ɧɟ ɨɬ ɬɪɟɬɶɟɣ ɚ ɨɬ ɱɟɬɜɟɪɬɨɣ ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɨɣ ɬ ɟ ɩɪɢɛɥɢɠɟɧɢɟ ɢɦɟɟɬ ɩɨɜɵɲɟɧɧɭɸ ɬɨɱɧɨɫɬɶ ɢ ɮɨɪɦɭɥɚ ɩɚɪɚɛɨɥ

ɜɟɪɧɚ ɞɥɹ ɩɨɥɢɧɨɦɨɜ ɬɪɟɬɶɟɣ ɫɬɟɩɟɧɢ Ɉɤɨɧɱɚɬɟɥɶɧɨ ɩɨɝɪɟɲ ɧɨɫɬɶ ɢɦɟɟɬ ɜɢɞ

R		h5n	yIV (T)	d	(b a)5	M 4 , M 4	max yIV .


	90				2880n4
							>a,b@

ɇɚ ɩɪɚɤɬɢɤɟ ɞɨɫɬɢɠɟɧɢɟ ɡɚɞɚɧɧɨɣ ɬɨɱɧɨɫɬɢ ɨɩɪɟɞɟɥɹɟɬɫɹ ɩɭ ɬɟɦ ɫɪɚɜɧɟɧɢɹ ɡɧɚɱɟɧɢɣ ɢɧɬɟɝɪɚɥɚ ɪɚɫɫɱɢɬɚɧɧɵɯ ɞɥɹ ɬɟɤɭɳɟɝɨ ɢ ɭɞɜɨɟɧɧɨɝɨ ɱɢɫɥɚ ɪɚɡɛɢɟɧɢɣ ɢɧɬɟɪɜɚɥɚ

Ʉɜɚɞɪɚɬɭɪɧɵɟ ɮɨɪɦɭɥɵ Ƚɚɭɫɫɚ

ɉɪɟɞɜɚɪɢɬɟɥɶɧɨ ɧɟɨɛɯɨɞɢɦɨ ɪɚɫɫɦɨɬɪɟɬɶ ɫɜɨɣɫɬɜɚ ɩɨɥɢɧɨɦɨɜ

Ʌɟɠɚɧɞɪɚ P (x)	1		d n	(x2 1)n	—	ɩɨɥɢɧɨɦ ɫɬɟɩɟɧɢ n,
Ʌɟɠɚɧɞɪɚ P (x)				(x2 1)n	—	ɩɨɥɢɧɨɦ ɫɬɟɩɟɧɢ n,
n		2n n!	d n x
		2n n!	d n x			1
x > 1,1@. ɉɨɥɢɧɨɦɵ ɨɪɬɨɝɨɧɚɥɶɧɵ ɬ ɟ						1	Gn,m ,
x > 1,1@. ɉɨɥɢɧɨɦɵ ɨɪɬɨɝɨɧɚɥɶɧɵ ɬ ɟ						³ Pn (x) Pm (x)dx	Gn,m ,
ɝɞɟ Gn, m — ɫɢɦɜɨɥ Ʉɪɨɧɟɤɟɪɚ						1
ɝɞɟ Gn, m — ɫɢɦɜɨɥ Ʉɪɨɧɟɤɟɪɚ
ɂɦɟɸɬ n ɤɨɪɧɟɣ ɧɚ > 1, 1@ Ⱦɥɹ ɥɸɛɨɝɨ ɩɨɥɢɧɨɦɚ Qk (x):
1
³ Pn (x) Qk (x) dx	0 ɟɫɥɢ k < n, ɬɚɤ ɤɚɤ ɩɨɥɢɧɨɦ ɫɬɟɩɟɧɢ k ɩɪɟɞ
1

ɫɬɚɜɢɦ ɜ ɜɢɞɟ ɥɢɧɟɣɧɨɣ ɤɨɦɛɢɧɚɰɢɢ ɩɨɥɢɧɨɦɨɜ Ʌɟɠɚɧɞɪɚ ɞɨ ɫɬɟ ɩɟɧɢ k ɜɤɥɸɱɢɬɟɥɶɧɨ

ɂɫɯɨɞɢɦ ɢɡ ɮɨɪɦɭɥɵ ɨɛɳɟɝɨ ɜɢɞɚ

³ f (t) dt

¦ Ai f (ti ).

i 1

[a,b]

Ⱦɥɹ

ɩɪɨɢɡɜɨɥɶɧɨɝɨ

ɨɬɪɟɡɤɚ

ɡɚɦɟɧɚ

ɩɟɪɟɦɟɧɧɵɯ

a b

b a

ɩɟɪɟɜɨɞɢɬ ɟɝɨ ɜ ɨɬɪɟɡɨɤ [ 1, 1] ɢ ɤɜɚɞɪɚɬɭɪɧɚɹ

ɮɨɪɦɭɥɚ Ƚɚɭɫɫɚ ɢɦɟɟɬ ɜɢɞ

ªb a

A f

§ a b

b a

·º .

(4.5.1)

i 1

i ¸»

¹¼

ɉɨɬɪɟɛɭɟɦ ɱɬɨɛɵ ɤɜɚɞɪɚɬɭɪɧɚɹ ɮɨɪɦɭɥɚ ɛɵɥɚ ɬɨɱɧɚ ɞɥɹ ɩɨ ɥɢɧɨɦɨɜ ɦɚɤɫɢɦɚɥɶɧɨɣ ɫɬɟɩɟɧɢ 2 n 1 ɚ ɫɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨ ɞɨɥɠɧɚ

							30
ɛɵɬɶ		ɬɨɱɧɚ ɞɥɹ					t, …, t 2 n 1 ɋɢɫɬɟɦɚ ɭɪɚɜɧɟɧɢɣ
n	A tk		1 ( 1)		k
¦			1 ( 1)			ɧɟɥɢɧɟɣɧɚɹ
¦						ɧɟɥɢɧɟɣɧɚɹ
i 1	i	i		k 1
	ɂɫɩɨɥɶɡɭɟɦ ɫɜɨɣɫɬɜɨ ɩɨɥɢɧɨɦɚ Ʌɟɠɚɧɞɪɚ
		1					n
		³ tk Pn (t) dt					¦ Ai tik Pn (ti ) 0 ɩɪɢ k = 0, 1, …, n – 1.
		1					1

Ɋɚɜɟɧɫɬɜɨ ɢɧɬɟɝɪɚɥɚ ɧɭɥɸ ɜɨɡɦɨɠɧɨ ɟɫɥɢ ti — ɤɨɪɧɢ ɩɨɥɢ

ɧɨɦɚ Ʌɟɠɚɧɞɪɚ ɤɨɬɨɪɵɟ ɢɡɜɟɫɬɧɵ

ɉɨɥɭɱɟɧɧɵɟ ti ɩɨɞɫɬɚɜɥɹɸɬɫɹ ɜ ɩɟɪɜɵɟ n ɭɪɚɜɧɟɧɢɣ ɫɢɫɬɟɦɵ

ɞɥɹ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɨɜ Ai :
A ti	A	ti	... A	ti	[1 ( 1)i ]		, 0 d i d n 1.

1 1	2	2	n	n		i 1

Ɉɩɪɟɞɟɥɢɬɟɥɶ ɫɢɫɬɟɦɵ — ɨɩɪɟɞɟɥɢɬɟɥɶ ȼɚɧɞɟɪɦɨɧɞɚ — ɧɟ ɪɚɜɟɧ 0, ɢ ɫɢɫɬɟɦɚ ɢɦɟɟɬ ɟɞɢɧɫɬɜɟɧɧɨɟ ɪɟɲɟɧɢɟ

Ɉɰɟɧɤɚ ɬɨɱɧɨɫɬɢ ɤɜɚɞɪɚɬɭɪɧɨɣ ɮɨɪɦɭɥɵ Ƚɚɭɫɫɚ ɩɪɨɜɨɞɢɬɫɹ ɩɨ ɮɨɪɦɭɥɟ

Ɂɚɞɚɧɢɟ ɞɥɹ ɩɪɚɤɬɢɱɟɫɤɢɯ ɡɚɧɹɬɢɣ

ȼ ɩɪɚɤɬɢɱɟɫɤɨɣ ɪɚɛɨɬɟ ɢɫɫɥɟɞɭɟɬɫɹ ɫɯɨɞɢɦɨɫɬɶ ɪɚɡɥɢɱɧɵɯ ɦɟ ɬɨɞɨɜ ɜ ɡɚɜɢɫɢɦɨɫɬɢ ɨɬ n — ɱɢɫɥɚ ɬɨɱɟɤ ɪɚɡɛɢɟɧɢɹ

Ɋɚɫɫɦɚɬɪɢɜɚɟɬɫɹ

ɢɧɬɟɝɪɚɥ

ɜɢɞɚ

x L

ɝɞɟ

(K L) / 2,

b K L ɡɧɚɱɟɧɢɹ

a x2 x K

ɞɚɧɵ

ɜ ɬɚɛɥ

4, 6, 8 .

Ɍɨɱɧɨɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɢɧɬɟɝɪɚɥɚ ɪɚɜɧɨ

ºb

1 ln(x2

L 1

x K )

arctg

» .

K 1

¼a

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#
06.02.20251.91 Mб1ВМ методичка с сдо.pdf
#
06.02.20251.07 Mб1численные методыА.Б. САМОХИН, В.В. ЧЕРДЫНЦЕВ, А.А. ВОРОНЦОВ.pdf

ʋ	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
Ʉ	2,3	5,3	3,2	4,2	4,5	3,8	2,8	2,5	3,4	3,9	4,3	4,7	4,9	5,1	2,5	4,8
L	4,9	2,9	1,5	2,1	1,9	1,6	1,0	0,8	1,7	2,3	2,1	2,3	2,6	1,8	0,8	1,6

ʋ	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
Ʉ	2,3	5,3	3,2	4,2	4,5	3,8	2,8	2,5	3,4	3,9	4,3	4,7	4,9	5,1	2,5	4,8
L	4,9	2,9	1,5	2,1	1,9	1,6	1,0	0,8	1,7	2,3	2,1	2,3	2,6	1,8	0,8	1,6

ʋ	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
Ʉ	2,3	5,3	3,2	4,2	4,5	3,8	2,8	2,5	3,4	3,9	4,3	4,7	4,9	5,1	2,5	4,8
L	4,9	2,9	1,5	2,1	1,9	1,6	1,0	0,8	1,7	2,3	2,1	2,3	2,6	1,8	0,8	1,6