людкоский тарф методичка с сдо

Поэтому (1, … , ) .

Лемма 2.

Пусть класс удовлетворяет ограничению [ ] 1,…, = . Тогда для класса= ( ) выполняется равенство 1,…, = .

8. Лекция 8. Теорема (о функциональной полноте А.В.Кузнецова).

Существует алгоритм построения системы замкнутых классов 1, 2, … , в таких, что не содержит целиком для любых ≠ . Более того, подсистема функций из полна тогда и только тогда, когда она целиком не содержится ни в одном из классов 1, … , .

Доказательство.

Сначала строится система классов 1, … , . Для этого берётся система 1, … , собственных подмножеств из состоящих из функций двух переменных 1 и2, удовлетворяющих условиям (1) и (2) для любого = 1, … :

(1)содержит 12 и 22

(2)[ ] 1,2 =

Для построения подмножеств просматривают все собственные подмножества в (1, 2) функций зависящих от двух переменных 1 и 2 из . Это возможно, так как мощность (1,2) равна с = 2, а мощность семейства всех конечных подмножеств в (1, 2) равна 2с.

Среди просматриваемых подмножеств оставляют те подмножества, которые содержат 12 и 22. Из оставшихся подмножеств отбирают те , для которых [ ] 1,2 = . Последнее условие проверяют аналогично тому, как это делается в доказательстве теоремы 2 о распознавании полноты.

31

Рассмотрим = ( ), где = 1, … , , классы сохранения .

Из лемм 1 и 2 следует, что класс замкнут и ( ) 1, 2 = . Отсюда вытекает, что классы все попарно различны и не полны в .

Из этого списка удаляют те классы, которые целиком содержатся в каком-либо. В результате получается система 1, … , . Пусть подсистема функций изполна. Тогда не содержится целиком ни одном из , так как − замкнутый и неполный класс. Пусть теперь подсистема функций из не содержится целиком ни в одном из классов , где = 1, … , . Поскольку каждый класс замкнут, то без ограничения общности достаточно рассмотреть случай, когда класс замкнут. Положим = [ { 1, 2}]. Тогда = [{ 1, 2}]. Классыи одновременно либо полны, либо неполны, так как функция Вебба( 1, 2) либо входит в и , либо не содержится ни в одном из этих классов. Рассмотрим = 1, 2. Докажем, что содержит все функции, зависящие от двух переменных 1 и 2. Если бы это было не так, то = и для некоторых и . Из следует, что .

Получилось противоречие с условием теоремы. Итак , а значит и , содержит функцию Вебба ( 1, 2). Отсюда следует, что класс и класс полны.

Замечание.

Указания в доказательстве теоремы процедура практически трудно осуществима из-за громоздких вычислений.

Система = { ( 1, 2)} является полной. В самом деле, в силу теоремы 3 система = {̅, max( 1, 2)} является полной.

данных в {. }.

32

9. Лекция 9. Существенные функции и критерий полноты.

Лемма 1.

Пусть ( 1, … , ) – существенная функция, которая принимает p значе-

ний, где ≥ 3. Если 1 − существенная переменная функции , то суще-

Вариант 1.

В рассматриваемой последовательности содержатся не все значений. Возьмем набор ( , 2, … , ) такой, что значение ( , 2, … , )

33

Доказательство:

После перенумерации переменных без ограничения общности можно предполагать, что 1 − существенная переменная функции . В силу предыдущей леммы существуют три различных набора

1 = { , , 1(1), … , 1( −3)},

Эти множества удовлетворяют условиям леммы.

цепочкой рёбер, принадлежащих этому сечению. При этом ЧТОТО ребро представляет собой отрезок, соединяющий пару соседних наборов, то есть набор отличающихся значениями ровно одной координаты. Это сечение рёбер определяет соответствующую цепочку

34

рёбер в гиперплоскости 1 = с помощью проекции на неё. Тогда получаются пары соответствующих рёбер в гиперплоскостях 1 = и 1 = , образующие квадраты. Таким образом, получается цепочка

квадратов 1,…, образованных посредством соединения последо-

вательных вершин от

( , 2, … , ) до ( , 2, … , )

в верхней плоскости задаваемой условием

1 =

и соответствующих последовательных вершин от

( , 2, … , ) до ( , 2, … , )

Поэтому на ребре 1 первого квадрата функция принимает значе-

ния ( , 2, … , )и ( , 2, … , ), тогда как на последнем ребре

функция не принимает хотя бы одно из этих значений. Отсюда вытекает, что существует квадрат с номером , где 1 ≤ < , такой, что на ребре функция принимает значения

Замечание 1.

При = 2 леммы 1 и 2 не имеют смысл, а лемма 3 не выполняется. Например, при = 2 функция ( 1, 2) = 1 2 принимает два

значения, и оба с кратностью два, на квадрате, который является её областью определения.

Теория 1.

Пусть ≥ 3, а система функций из содержит все функции одной

переменной, принимающие не более − 1 значений. Тогда следующие условия равносильны:

(1)полна

(2)содержит существенную функцию ( 1, … , ),

принимающую все значений.

Доказательство(1) (2).

Рассмотрим полную систему и предположим, что не содержит существенной функции, принимающей все значений. Тогда из нельзя получить существенную функцию, принимающую все значений. Получилось противоречие. Поэтому содержит существенную функцию, принимающую все значений.

(2) (1).

35

Пусть выполняется условие теоремы вместе со свойством (2). Докажем по индукции, что система полна.

1)Базис индукции. Сначала докажем, что из можно получить все

функции из , принимающие два значения.

Функция , удовлетворяющая свойству (2), в силу леммы 3 принимает не менее двух значений на некотором квадрате, причём одно из них, 1 − в одной точке.

Данная функция ( 1, 2) принимает два значения 0 и 1 на квадрате { ( , ), ( , ), ( , ), ( , )}. Значение 0 она принимает

лишь в одной точке этого квадрата. Обозначим эту точку ( 1, 2).

нозначные соответствия между множествами

′ на ′ совпадают с кратностями соответствующих значений функции на множестве .

Удобно использовать нормировку в следующих формах:

36

Случай (1) соответствует преобразованию переменных, а вариант

(2) даёт преобразование значений. Варианты (1) и (2) называют также неполными нормировками. Часто в качестве фиксирован-

В свете описания нормировки функций выберем неполную нормировку, при которой (0,0) отображается в ( 1, 2), а квадрат

37

Если уже построены все функции с заданными значениями0, … , −1 при < , то можно получить остальные функции с значениями при помощи функций одной переменной, принимающих менее значений.

Применение такой описанной выше процедуры индукцией по в конце даёт случай = . Тогда все функции из построены.

Следствие 1(Критерий Слупецкого).

Пусть система функций из содержит все функции одной пе-

ременной, где ≥ 3. Тогда следующие условия равносильны:

(1)Система полна,

(2)содержит существенную функцию, принимающую все значений.

жится в классе линейных функций.

Для упрощения вычислений в формулировке теоремы /и последствия/ можно заменить условие « содержит все функции одной переменной» на « нерождает все функции одной переменной». Очевидно, что они тогда тоже будут выполняться. Последнее условие может быть установлено проще, чем первое. Для этого полезны тоже две теоремы.

Теорема 2(с.Пикар). Три функции

( ) = − 1 ( ) ,

, 0 ≤ ≤ − 3,( ) = { = 1, при = − 2 ,

= 2, при = − 1

1, при = 0,( ) = { , при ≠ −

Порождают все функции одной переменной из , где ≥ 3.

Теорема 3. Система функций.

38

Определение 2.

Функция из называется функцией Шеффера, если она образует

полную систему.

(1)−является функцией Шеффера,

(2)порождает все функции одной переменной, принимающие не более − 1 значений.

Доказательство.(1) (2) очевидно

(2) (1). Из функции в честном случае можно получить все постоянные 0,1, … , − 1, то есть принимает все значений. Если − несущественная функция, то −подстановка. В этом случае из неё можно получить лишь подстановки в результате композиций, а значит нельзя получать постоянных функций. Остается лишь тот вариант, что − существенная переменная. В силу теоремы 1 (критерия полноты) система = { ( 1, … , )} полна.

10. Лекция 10. Особенности −значных логик.

Теорема 1(Янов). Для любого ≥ 3 в имеется замкнутый класс,

не обладающий базисом. Доказательство.

Возьмем последовательность функций 0 = 0,

где = 1,2, … . Рассмотрим множество всех функций, которые

получаются из { 0, 1, 2, … } путем переименования переменных, но без отожествления переменных. Очевидно, что класс замкнут. Предположим, что в классе существует базис. Тогда в базисе имеется функция , которая получается из некоторой функции

39

в результате переименования переменных. Среди таких и

выберем пару с минимальным 0. Представляются две возмож-

ности.

отожествления переменных. Это противоречит определению базиса.

2. Имеется лишь одна функция в базисе. Тогда при > 0 нельзя получить , так как (… , , … ) ≡ 0. Опять получилось противоречие. Остается только то, что не имеет базиса.

Теорема 2(Мучник).

Для любого ≥ 3 в имеется замкнутый класс со счётным бази-

сом.

Доказательство.

Зададим последовательность функций:

где = 2,3, … . Рассмотрим замкнутый класс , порожденный системй

{ 2, 3, 4, … }. Проверим, что система { 2, 3, 4, … } является базисом в

. Достаточно доказать, что невозможно представление

= [ 2, … , −1, +1, … ] ,

где − формула, ни при каком = 2,3,4, … .

Разберём все возникающие возможности.

1.Имеются не менее двух формул и отличных от переменных среди

1, … , , где ≥ 2. Поэтому на -м и -м местах у функции при любых значениях 1, … , от и возможны лишь значения 0 и 1, следова-

тельно, правая часть равна нулю. Последнее противоречит тому, что

0.

40