людкоский тарф методичка с сдо

1, при =

3. ( ) = {0, при ≠ характеристическая функция.

При ≠ − 1 тоже обобщает отрицание.

4.min( 1, 2) − обобщение конъюнкции;

5.1 2( ) − второе обобщение конъюнкции;

6.max( 1, 2) − обобщение дизъюнкции;

7.1 + 2( ).

Формулы и эквивалентны, ели соответствующие им функции и равны.

( 1, 2) = max( 1, 2) + 1 − функция Вебба – аналог функции Шеффера.

Рассмотрим теперь свойства элементарных функций k-значной логики. Пусть1 2 служит обозначением какой-либо из функций min( 1, 2),

1 2( ), max( 1, 2), 1 + 2( ).

1.Функция 1 2 ассоциативна

(( 1 2) 3 = ( 1 ( 2 3).

2.Функция 1 2 коммутативна

( 1 2) = ( 2 1).

Также функцию min( 1, 2) обозначают ( 1& 2), а функцию max( 1, 2) часто обозначают ( 1 2). Операция & выполняется раньше, чем , что используют для сокращения скобок в формулах.

4.Свойства дистрибутивности:

( 1 2) 3 = ( 1 3) ( 2 3), ( 1 2) 3 = ( 1 3)( 2 3).

5.Правило исключения «чистых» вхождений переменной:

21

= 1 1( ) 2 2( ) … ( − 1) −1( ).

6.Правило введения переменной:

1 = 1( 0( 2) … −1( 2)).

7.Правила упрощений:

( ) ( ) = { ( ) при = ,

0 при ≠

где = & = min( , );

= max( , ).

8.( − 1) = ; 0 = 0 ( − 1) = − 1; 0 = .

Важно отметить, что не все свойства булевых функций сохраняются в k-значной логике при ≥ 3.

Примеры.

Доказательство последней формулы получается непосредственной проверкой. Формула (1) является аналогом совершенной дизъюнктивной нормальной формы.

5. Лекция 5. Полные системы функций.

Определение 1. Система функций Ω = { 1, 2, … , , … } из называется функционально полной, если каждая функция из может быть представлена в виде формулы через функции системы Ω.

Очевидно, что система Ω = полна.

Теорема 1.

Система

Ω = {0,1, … , − 1, 0( ), … , −1( ), min( 1, 2) , max( 1, 2)} является полной в

.

22

Доказательство вытекает из формулы (1) предложения 1 предыдущего параграфа.

Теорема 2.

Система Ω = { ̅, max( 1, 2)} является полной в .

Доказательство. Проводится в несколько этапов.

Сначала строятся все постоянные функции. Из функции ̅= + 1 последовательно путем итераций получают функции + 2 = ( + 1) + 1, … , + − 1 = ( + − 2) + 1, = + = ( + ( − 1)) + 1.

Тогда max( , + 1, … , + − 1) = − 1.

Из постоянной функции − 1 остальные постоянные функции 0,1, … , − 2 получают с помощью ̅= ( ), так 0 = ( − 1), 1 = (0) и т.д.

Далее строят функции одной переменной. Функции ( ) задаются формулами

( ) = 1 + max( + ), ≠ − 1 − , где = 0,1, … , − 1. Для их проверки рассмотрим = , тогда левая часть равна − 1, а правая часть равна

1 + max( + ) = 1 + max( + ) = 1 + − 2 = − 1

При ≠ левая часть равна 0, а правая составляет

1 + max( + ) = 1 + ( + ( − 1 − )) = = 0.

≠ − 1 −

Далее рассмотрим функции , ( ) такие, что

при =, ( ) = {0 при ≠ .

Тогда получается разложение

, ( ) = + 1 + { ( ); − 1 − }.

Произвольная функция ( ) одной переменной из можно тогда записать в виде

( ) = { (0),0( ), (1),1( ), … , ( −1), −1( )}.

23

результате последовательных композиций из { , }.

Построим теперь min{ 1, 2} из уже имеющихся в доказательстве выше функций. Воспользуемся тождеством

~ min( 1, 2) = max(~ 1, ~ 2), т.е.

min( 1, 2) = ~max(~ 1, ~ 2).

Поэтому из теоремы 1 следует утверждение данной теоремы.

Определение 2.

Функция Вебба называется ( 1, 2) = max( 1, 2) + 1.

Теорема 3.

Система = { ( 1, 2)} полна в .

Доказательство.

Заметим, что ( , ) = max( , ) + 1 = + 1 = ̅.

Последовательная композиция ̅= 1( ),

2( ) = 1( 1( )), … , ( ) = 1( −1( )) даёт ( ) = и ( ( 1, 2)) = max( 1, 2) в .

В силу теоремы 2 получаем утверждение данной теоремы.

Определение 3.

Замыканием подмножества в называется множество [ ] всех функций из , которые представимы в виде всевозможных композиций через функции из .

Подмножество в называется функционально замкнутым, если его замыкание [ ] совпадает с .

Примеры.

1.Само множество = замкнуто.

24

полна.

В следующем параграфе рассматривается полнота систем функций в частном случае при k=2. Это нужно для сравнения со случаями k-значной логики при k>2.

K-значные логики при k>2 имеют ряд специфических особенностей по сравнению со случаем k=2. Для k-значных логик при k>2 полнота систем функций и критерии распознавания полноты изложены в последующих параграфах.

6. Лекция 6. Полнота и замкнутость систем функций алгебры логики.

Определение 1. Некоторая система функций B = { 1, 2,…, p…} из P2 называется функционально полной, если каждая функция алгебра логики может быть записана с помощью формулы через функции этой системы.

Примеры: Сама система P2 всех булевых функций является функционально полной.

Уже была доказана полнота следующих систем функций.

1.{¬x, x V y}

2.{¬x, x & y}

3.{¬x, x → y}

4.{0, 1, x & y, x y}

5.{x ↓ y}

6.{x |y}

Теорема 1. Если имеются две системы функций B = { 1, 2,…} и D = { 1, 2,…}, и система В функционально полна, а каждая функция j из В выражается в виде формулы через функции системы D, то системы D тоже функционально полна.

25

Доказательство. Возьмем произвольную функцию h из P2, тогда в силу функциональной полноты системы В имеется формула над В такая, что h = С [ 1, 2,…, p…], то есть h выражается с помощью композиций функций из В. Также по условию теоремы имеются формулы над системой D такие, что j = Сj [ 1, 2,…] для любого j. Поэтому

С [ 1, 2,…] = С [С1 [ 1, 2,…], C2[ 1, 2,…],…]

или

С [С1 [ 1, 2,…], C2[ 1, 2,…],…] = С| [ 1, 2,…],

где формула со строением С| над системой D определяется левой частью равенства. Итак, h = С| [ 1, 2,…], то есть функция h выражена через функции системы D в виде формулы над системой D.

Определение 2. Если М – подмножество функций P2, то множество [M] всех функций, которые представляются в виде формул через функции из М, называется замыканием М.

Из этого определения вытекает, что замыкание инвариантно относительно введения и удаления фиктивных переменных.

В связи с понятиями замкнутости и полноты часто рассматриваются следующие важные классы функций.

1. Класс Т0 всех функций алгебры логики (x1,…, xn), которые сохраняют постоянную 0, то есть (0,…, 0) = 0.

Например, функции β1(х) = 0, β2(х) = х, β3(х,у) = x&y, β4(х,у) = x Vy,

β5(х,у) = x y принадлежат классу Т0, но функции β6(х) = 1, β7(х) = ¬х не входят в Т0.

В классе Т0 содержится 12 22 функций n переменных х1,…,хn, так как пер-

вая строка таблицы каждой такой функции содержит 0. Если , 1,…, m Т0, то( 1(0,…,0)…, m(0,…,0)) = (0, … ,0) = 0, следовательно, класс Т0 замкнут.

2. Класс Т1 функций алгебры логики (x1,…, xn), которые сохраняют посто-

Функции β1(х) = 0 и β7(х) = ¬х не входят в Т1, а функции β2(х) = х, β3(х,у) = x&y, β4(х,у) = x V y, β6(х) = 1 содержатся в классе Т1.

Можно легко усмотреть, что β(x1,…, xn) принадлежит Т1 тогда и только

также замкнут и содержит 12 22 функций (x1,…, xn) n переменных. 3. Класс всех самодвойственных функций β* = β обозначают S.

Например, функции β2(х) = х и β7(х) = ¬х принадлежат S, а также β(х1, х2,

х3) = х1&х2V х1& х3V х2& х3 самодвойственна.

26

Самодвойственная функция β(x1,…,xn) на противоположных наборах (а1,…,аn) и (¬а1,…,¬аn) принимает противоположные значения, следовательно, таблица для β полностью характеризуется ее верхней половиной. Поэтому число

самодвойственных функций, зависящих от n переменных x1,…,xn, равно 22 −1.

Лемма 1. Пусть β(x1,…,xn) – несамодвойственная функция. Тогда существует подстановка функций х и ¬х в β, дающая несамодвойственную функцию одной переменной, то есть постоянную.

Доказательство. Поскольку β S, то существует набор (а1,…,аn), для которого β(¬а1,…,¬аn) = β(а1,…,аn). Возьмем функцию

(x) = β( 1(х),…, n(х)),

(0) = β( 1(0),…, n(0)) = β(0 1 , … 0 ) = β(¬а1,…,¬аn) =

β(1 1, … , 1 ) = β( 1(1),…, n(1)) = (1).

Определение 3. Если aj ≤ bj для всех j = 1,…, n, то полагают, что выполнено отношение предшествования a ≤ b для двух наборов a = (a1,…,an) и b = (b1,…,bn).

Очевидно, что если a ≤ b и b ≤ c, то a ≤ c.

Множество векторов из булевого куба Bn частично упорядочено отношением предшествования ≤, где B = {0,1}, а n – натуральное число.

Определение 4. Функция алгебры логики β(x1,…,xn) называется монотонной, если для всяких двух булевых векторов a ≤ b из Bn выполняется неравенство

β(а) ≤ β(b).

Например, функции 0, 1, х, x&y, x V y монотонны.

Проверим, что класс М всех монотонных функций замкнут. Функция х

так как β ( ) β ( ̃ ) для всех j = 1,…, m,

j ̃j ≤ j j

β( ) β( ̃ ),

̃ ≤

где ̃ = (a1,…,an), ̃j = (aj1,…,aj p(j)), aji { a1,…,an}, ak ≤ bk для всех k = 1,…, n, βj зависит от p(j) переменных.

Итак, где Φ = ( 1,…, m), следовательно, класс М монотонен.

27

Наборы и ̃ называются соседними, если

̃

̃ = (a1,…,ai-1, аi, ai+1, …, an),

̃ = (a1,…,ai-1, i, ai+1, …, an),

¬а

где аi = ¬аi.

Лемма 2. Пусть β(x1,…,xn) – немонотонная функция. Тогда имеется подстановка постоянных 0 и 1, и функции х такая, что из β получается функция ¬х.

вательно, существует цепочка соседних наборов ̃2,…, ̃k, удовлетворяющих неравенством

… ̃ .

̃1≤ ̃2≤ ≤ ̃k≤ 1

β( ) β( ̃) = (1), следовательно, (0) = 1, (1) = 0. Таким образом (х) =

̃ > ¬х.

7. Лекция 7.Распознавание полноты.

Теорема 1.

Если система полна в , то существует конечная подсистема в , которая также является полной.

Доказательство.

28

Рассмотрим систему = { 1, 2, … , , … }. Поскольку [ ] = , то функция

Теорема (о распознавании полноты) 2.

Для распознавания полноты существует алгоритм.

Доказательство.

Если задана система функций в , то согласно теореме 1 без ограничения общности можно предполагать, что конечна, = { 1, … , }.

Для описания алгоритма распознавания полноты сначала строится по индукции последовательность множеств 0, 1, … , , … функций от двух переменных 1 и 2.

В качестве базиса индукции полагают 0 = Л, где Л обозначает пустое множество. Далее совершается индуктивный переход. Предположим, что уже постро-

Так получается ( ( ) + 2) формул. Если среди них получаются функции не вошедшие в , то обозначим их ( )+1( 1, 2), … , ( +1)( 1, 2) и зададим+1 = { ( )+1( 1, 2), … , ( +1)( 1, 2)}. Таким образом получается последовательность семейств функций 0 1 . Если для некоторого выполняется равенство +1 = , то + = для любого положительного целого числа .

В силу теоремы 1 из §1 мощность не превосходит 2 для любого . Поэтому существует минимальное , начиная с которого наступает стабилизация +1 =, обозначим его .

Тогда имеются два варианта.

1.Если содержит все функции двух переменных, то функция Вебба( 1, 2) принадлежит , следовательно, исходная система функций полна.

29

Таким образом, ( 1) совпадает с классом самодвойственных функций.

Лемма 1.

[ ] = для = ( ), где ( ) и даются определением 1.

Доказательство.

Из определения 1 следует, что содержит тождественную функцию ( ) = , так как ( ( , … , )) = = ( , . . , ). Пусть , 1, … , принадлежат .