тарф методичка с сдо3
.pdfДоказательство:
После перенумерации переменных без ограничения общности можно
предполагать, что |
существенная переменная функции |
. В силу |
предыду- |
|||
щей леммы существуют три различных набора ( |
|
) |
|
|||
( |
) ( |
), |
на которых функция принимает три различ- |
|||
ных значения. К этим наборам добавим еще |
, набора . ( ) |
( )/ |
||||
|
на которых функция |
принимает остальные |
значений. Зада- |
|||
дим множества: |
|
|
|
|
|
|
2
2
….
( ) |
( |
)3 |
( ) |
( |
)3 |
2 |
( ) |
( )3 |
Эти множества удовлетворяют условиям леммы.
Определение1. Если задана система наборов:
( |
|
|
), |
( |
|
), |
|
( |
|
|
), |
( |
|
|
), |
удовлетворяющая условиям |
и |
, то она называется квадра- |
|
том. |
|
|
|
Лемма 3 |
|
|
|
Если ( |
) существенная функция, принимающая значений, где |
||
то имеется квадрат, на котором |
принимает либо более двух значений, |
||
либо два значения и одно из них только в одной точке. Доказательство
Используя перенумерацию переменных, без ограничения общности можно
полагать, что |
|
существенная переменная функции В силу леммы 1 име- |
||||
ются три набора ( |
|
) ( |
|
) |
|
|
( |
), |
на которых функция |
принимает три различных значения. |
|||
Рассмотрим куб |
* |
+ * |
+ |
* |
+ содержащий эти наборы. |
|
33
Возьмем сечения этого куба гиперплоскостью |
и в этом сечении соеди- |
||
ним точку ( |
) с точкой ( |
) цепочкой рѐбер, принадлежащих |
|
этому сечению. При этом ребро представляет собой отрезок, соединяющий пару соседних наборов, то есть набор отличающихся значениями ровно одной координаты. Это сечение рѐбер определяет соответствующую цепочку рѐбер в
гиперплоскости |
|
с помощью проекции на неѐ. |
Тогда получаются пары |
||
соответствующих рѐбер в гиперплоскостях |
и |
, образующие квад- |
|||
раты. Таким образом, получается цепочка квадратов |
,…, |
образованных |
|||
посредством соединения последовательных вершин от |
|
|
|||
( |
) до ( |
) |
|
|
|
в верхней плоскости задаваемой условием
и соответствующих последовательных вершин от
( ) до ( )
в нижней плоскости задаваемой уравнением
|
Поэтому на ребре |
первого квадрата функция принимает значения |
|
( |
) ( |
) тогда как на последнем ребре |
функция не |
принимает хотя бы одно из этих значений. Отсюда вытекает, что существует
квадрат с номером |
, где |
|
такой, что на ребре |
функция принимает |
значения ( |
) |
( |
) |
не принимает по |
крайней мере одно из этих значений. Таким образом, квадрат с номером явля-
ется искомым. |
|
|
|
Замечание 1 |
|
|
|
При |
леммы 1 и 2 не имеют смысл, а лемма 3 не выполняется. |
||
Например, при |
функция ( |
) |
принимает два значения, и |
оба с кратностью два, на квадрате, который является еѐ областью определения.
Теорема 1 |
|
|
|
|
|
Пусть |
, а система |
функций из |
содержит все функции одной пе- |
||
ременной, принимающие не более |
значений. Тогда следующие условия |
||||
равносильны: |
|
|
|
|
|
|
|
|
функцию ( |
) |
|
принимающую все |
значений. |
|
|
||
Доказательство( ) |
( |
) |
|
|
|
Рассмотрим полную систему и предположим, что не содержит суще- |
|||||
ственной функции, принимающей все |
значений. Тогда из нельзя получить |
||||
существенную функцию, принимающую все |
значений. Получилось противо- |
||||
34
речие. Поэтому содержит существенную функцию, принимающую все значений.
( ) |
( |
) |
|
|
|
Пусть выполняется условие теоремы вместе со свойством (2). Докажем по |
|||
индукции, что система |
полна. |
|
||
|
Базис индукции. Сначала докажем, что из можно получить все функции |
|||
из |
принимающие два значения. |
|
||
|
Функция , удовлетворяющая свойству (2), в силу леммы 3 принимает не |
|||
менее двух значений на некотором квадрате, причѐм одно из них, |
в одной |
|||
точке. |
|
|
|
|
|
|
( |
) |
|
|
|
( |
) |
|
|
|
( |
) |
|
|
( |
|
) , |
|
|
где |
и |
j. |
|
|
Выберем функцию |
такую, что |
|
|
|
( |
) { |
. |
|
удовлетворяет условию теоремы, следовательно, принадлежит . Зададим функцию
|
( |
) |
( ( |
|
|
|
|
|
)). |
|
Данная |
функция |
( |
) принимает два значения 0 и 1 на квадрате |
|||||
{ ( |
) ( |
|
) ( |
) ( |
)} Значение 0 она принимает лишь в одной точ- |
||||
ке этого квадрата. Обозначим эту точку ( |
) |
|
|
||||||
|
Далее |
воспользуемся |
нормировкой |
функции |
. |
В общем случае, если |
|||
функция ( |
|
) из |
задана на |
|
|
|
|
||
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
то переход к функции |
( |
) на |
|
|
|
|||
|
называется нормировкой. То есть |
|
|
|
|||||
|
|
|
( |
|
) |
. ( |
( ) |
( |
))/ |
35
При этом преобразовании предполагается, что |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
Пусть |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
) |
* |
|
|
+ ( ) |
* |
+. |
|
|
Таким образом, нормировка указывает взаимно однозначные соответствия |
|||||||||
между множествами |
|
|
|
|
|
||||
* |
|
|
+ |
* |
+ , |
|
|
|
|
|
|
, … , |
|
. |
|
|
|
|
|
Рассматриваемые |
соответствия |
осуществляются с |
помощью |
функций |
|||||
( ) |
( |
) |
( |
) |
. Эти функции всегда можно выбрать как функции |
||||
подстановок. В частности, если |
|
, то |
( ) ( ) |
( ) |
|||||
можно выбрать как функции одной переменной, принимающие не более |
|||||||||
значений функции |
|
совпадают с кратностями соответствующих значе- |
|||||||
ний функции |
на множестве . |
|
|
|
|
||||
Удобно использовать нормировку в следующих формах: |
|
||||||||
* |
|
|
+ |
* |
+, |
|
|
|
|
( |
) |
|
|
* |
+ при |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
) |
|
|
|
* |
|
|
+ |
* |
+; |
|
|
|
|
* |
|
|
+ |
* |
+, |
|
|
|
|
|
|
* |
|
|
+ при |
|
|
|
|
Случай (1) соответствует преобразованию переменных, а вариант (2) даѐт преобразование значений. Варианты (1) и (2) называют также неполными нор-
мировками. Часто в качестве фиксированных точек |
( |
) выбирают |
|||||
|
( |
) соответственно. |
|
|
|
|
|
|
В свете описания нормировки функций выберем неполную нормировку, |
||||||
при которой (0,0) отображается в ( |
), а квадрат *( |
) ( |
) ( ) ( )+ в |
||||
{ ( |
) ( |
) ( |
) ( |
)} |
|
|
|
|
Тогда приходим к функции |
|
|
|
|||
|
( |
) |
( ( ) |
( )) |
где |
|
|
36
|
Очевидно, что |
( |
|
) совпадает с функцией |
( |
) на множестве |
|||
* |
+ * |
+ |
Обозначим еѐ |
. Поскольку система содержит функции |
|||||
( |
)такие что |
|
|
|
|
|
|
||
|
( |
) |
{ |
|
, |
|
|
|
|
|
то |
|
|
( ( |
) |
( )) совпадает с |
функцией |
( |
) на |
множестве * |
+ * |
+ |
Для произвольной функции |
( |
), принимаю- |
||||
щей два значения 0 и 1 выполняется разложение |
|
|
|
|||||
( |
) |
( ) |
( |
) |
( |
) |
( |
) |
( ) |
( |
) |
( |
) ( |
) |
|
|
|
Это означает, что функция |
получается из системы функций |
. Поскольку |
||||||
система |
содержит все функции одной переменной, принимающие произволь- |
|||||||
ные два значения из , то можно получить из системы |
|
все функции, которые |
||||||
принимают любые два значения из |
* |
+ |
|
|
|
|||
(2). Продолжение индукции. Предположим, что из системы |
построены |
|||||||
все функции, принимающие не более |
|
значений, |
где |
. Укажем |
||||
процедуру для построения всех функций -значной логики и принимающих
значений. Рассмотрим функцию |
( |
) Из леммы 2 вытекает, что суще- |
|
ствуют подмножеств |
в |
таких, что |
при i=1,…,n, а на |
их декартовом произведении |
|
функция |
принимает значений |
. Обозначим наборы, на которых принимаются эти значения через
|
|
|
|
( |
) |
. |
( ) |
( ) |
/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
( |
( )) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
можно построить произвольную функ- |
|||||
цию |
( |
|
) которая |
принимает |
значения |
|
Положим |
|||||
( |
) |
( |
), где |
( |
|
|
) |
( |
|
) |
( ( )) Поэтому |
|
|
( |
) |
( ( |
|
|
) |
|
( |
|
)), |
так как |
|
|
( ( |
|
) |
( |
|
|
)) |
. ( ( )) |
|
( ( ))/ |
( ). |
|
|
Если уже построены все функции с заданными |
значениями |
при |
|||||||||
|
, то можно получить остальные функции с |
значениями при помощи |
||||||||||
функций одной переменной, принимающих менее |
значений. |
|
||||||||||
37
Применение такой описанной выше процедуры индукцией по в конце да-
ѐт случай |
. Тогда все функции из построены. |
|
|||
Следствие 1(Критерий Слупецкого) |
|
||||
Пусть система функций из |
содержит все функции одной переменной, |
||||
где |
|
. Тогда следующие условия равносильны: |
|
||
Система полна, |
|
|
|
||
|
содержит существенную функцию, принимающую все |
значений. |
|||
Замечание 2. Условие |
|
в предыдущей теореме существенно. При |
|||
система функций |
* |
+ неполная, т.к. |
содержится в |
||
классе |
линейных функций. |
|
|
|
|
|
Для упрощения вычислений в формулировке теоремы /и последствия/ |
||||
можно |
заменить условие « |
содержит все функции одной |
переменной» на |
||
« нерождает все функции одной переменной». Очевидно, что они тогда тоже будут выполняться. Последнее условие может быть установлено проще, чем первое. Для этого полезны тоже две теоремы.
Теорема 2(С.Пикар). Три функции
( |
) |
|
( |
) , |
( |
) |
{ |
|
, |
( ) {
Порождают все функции одной переменной из , где |
. |
Теорема 3. Система функций
( ) |
{ |
, |
где
( ) {
порождают все функции одной переменной из , где . Определение 2
Функция из называется функцией Шеффера, если она образует полную систему.
38
Теорема 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть |
( |
) |
функция k-значной логики, где |
|
. Тогда следую- |
|||
щие условия равносильны: |
|
|
|
|
|
|||
является функцией Шеффера, |
|
|
|
|
||||
порождает все функции одной переменной, принимающие не более |
||||||||
значений. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Доказательство.( ) |
( |
) |
|
|
|
|
||
( ) |
( ). Из функции |
в честном случае можно получить все постоян- |
||||||
ные |
|
, то есть |
|
принимает все |
значений. Если |
несуществен- |
||
ная функция, то |
подстановка. В этом случае из неѐ можно получить лишь |
|||||||
подстановки в результате композиций, а значит нельзя |
получать постоянных |
|||||||
функций. Остается лишь тот вариант, что |
существенная переменная. В силу |
|||||||
теоремы 1 (критерия полноты) система |
* ( |
)+ |
полна. |
|||||
2.6.Особенности k-значных логик
Теорема 1 (Янов). Для любого |
в |
имеется замкнутый класс, не |
||
обладающий базисом. |
|
|
||
Доказательство |
|
|
||
Возьмем последовательность функций |
, |
|||
( |
) |
{ |
|
, |
где |
|
Рассмотрим множество |
всех функций, которые полу- |
|
чаются из * |
|
+ путем переименования переменных, но без отожествле- |
||
ния переменных. |
Очевидно, что класс |
замкнут. Предположим, что в классе |
||
существует базис. Тогда в базисе имеется функция , которая получается из
некоторой функции |
в результате переименования переменных. Среди |
|||||
таких и |
выберем пару с минимальным . Представляются две возможно- |
|||||
сти. |
|
|
|
|
|
|
1.Имеется ещѐ одна функция в базисе. Ей соответствует некоторая |
||||||
функция |
с |
. Но |
можно получить из |
с помощью |
|
|
отождествления переменных. Это противоречит определению базиса. |
||||||
2. |
Имеется лишь одна функция в базисе. Тогда |
при |
нельзя |
|||
получить |
, так как ( |
) |
. Опять получилось противоречие. |
Остается |
||
только то, что |
не имеет базиса. |
|
Теорема 2(Мучник) |
|
|
Для любого |
в |
имеется замкнутый класс со счѐтным базисом. |
39
Доказательство Зададим последовательность функций:
( |
) |
{ |
|
|
|
|
|
|
|
где |
|
. Рассмотрим замкнутый класс |
, порожденный системй |
||||||
* |
+. Проверим, что система * |
|
+ является базисом в |
. До- |
|||||
статочно доказать, что невозможно представление |
|
|
|
||||||
|
, |
|
- , |
|
|
|
|
|
|
где |
формула, ни при каком |
|
|
. |
|
|
|||
Формула имеет вид: |
|
|
|
|
|
|
|||
|
, |
|
- |
( |
, |
|
|
- |
|
, |
|
|
-) . |
|
|
|
|
|
|
Разберѐм все возникающие возможности. |
|
|
|
|
|||||
1. |
Имеются не менее двух формул |
и |
отличных от переменных |
||||||
среди |
, |
где |
. Поэтому на -м и |
-м местах у функции при любых |
|||||
значениях |
|
от |
и возможны лишь значения 0 и 1, следовательно, |
||||||
правая часть равна нулю. Последнее противоречит тому, что |
. |
|
|||||||
2. |
Лишь одна формула |
отлична от переменной. |
Тогда остальные |
||||||
формулы |
сводятся к |
переменным. |
Поскольку |
, то |
имеется |
формула |
|||
. На наборе |
|
|
|
|
|
формула |
при- |
||
нимает значения либо 0, либо 1. Тогда на -м и |
-м местах у функции |
стоят |
|||||||
значения отличные от 2 при таком выборе значений переменных. Поэтому правая часть примет значение 0, а левая часть на данном наборе равна 1. Получилось противоречие.
3. |
Все формулы |
совпадают с символами переменных. Тогда |
|
|
, следовательно, имеется некоторая переменная , которая не ме- |
||
нее двух |
раз входит в формулу. Для набора |
||
|
|
левая часть обращается в 1, а правая в 0. Значит, этот слу- |
|
чай тоже невозможен. |
|
||
Теорема 5 |
|
|
|
Для любого |
имеется континуум различных замкнутых классов в . |
||
40
Доказательство |
|
Множество |
всех функций -значной логики счѐтно, следовательно, чис- |
ло подмножеств в |
равно континууму. Поэтому, число замкнутых классов в |
не превосходит континуум. |
|
Остается оценить снизу число замкнутых классов в . Воспользуемся |
|
замкнутым классом |
из доказательства предыдущей теоремы. Он имеет ба- |
зис * |
+. Для произвольной последовательности * |
|
+ с |
|
||||||||||
|
введѐм |
класс |
( |
|
|
), |
порождѐнный системой |
функций |
||||||
{ |
}. |
Тогда |
|
( |
|
|
) |
( |
|
), |
если |
( |
) |
|
( |
), |
следовательно, |
семейство |
* ( |
|
|
) ( |
|
)+ имеет |
|||||
мощность континуума. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Теорема |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Система полиномов по |
|
|
является полной в |
тогда и только тогда, |
||||||||||
когда |
простое число. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Доказательство |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Сначала представим произвольную функцию |
( |
) |
из |
в виде |
||||||||||
( |
) |
|
( |
) |
( |
) |
( |
|
) ( |
|
) |
|
|
|
Остается разложить в виде полиномов функции ( |
), где |
|
|
|||||||||||
Из тождества |
( |
) |
( |
) вытекает , что достаточно разложить |
( ) в ви- |
|||||||||
де полинома. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.Предположим, что |
|
|
простое число. Согласно малой теореме |
|||||||||||
Ферма |
|
|
( |
) для любого целого числа |
такого, что |
|
. |
|||||||
Поэтому, |
( |
) |
|
|
( |
|
|
), следовательно, система полиномов пол- |
||||||
на в . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Полезно |
провести |
путь |
доказательства малой теоремы Ферма. Числа |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
( |
|
) не сравнимы по |
, следовательно, |
|||||
|
( |
|
) ( |
) |
и |
( |
) |
|
( |
|
) ( |
) |
или |
|
( |
). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Другой способ разложения функции одной переменной ( |
) в виде поли- |
|||||||||||||
нома основан на методе неопределенных коэффициентов: |
|
|
|
|||||||||||
( |
) |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
Тогда получается система линейных алгебраических уравнений: |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
), |
|
|
|
|
|
|
( |
|
) |
( |
|
) |
|
( |
|
) |
( |
), |
|
41
У этой системы определитель имеет вид:
1 |
0 |
0 |
… |
0 |
1 |
1 |
12 |
… |
1p-1 |
∆= |
|
|
|
|
1 |
2 |
22 |
… |
2p-1 |
… |
… |
… |
… |
… |
1 |
p-1 |
(p- |
… |
(p- |
|
|
1)2 |
|
1)p- |
|
|
|
|
1 |
Он называется определителем Вандермонда. Он вычислен: |
|
||||||
∆= ( |
), где |
|
. |
|
|
|
|
Поскольку |
простое число , то ∆ |
( |
). Тогда в целых числах ре- |
||||
шаются сравнения |
∆ ∆i |
( |
) для любого |
где ∆i – соот- |
|||
ветствующий определитель, |
получаемый из ∆ заменой ( |
)-го столбца на |
|||||
|
|
|
|
( |
) |
|
|
|
|
|
|
( |
) |
|
|
столбец правых частей уравнений |
( |
) |
. |
|
|||
|
|
|
|
( ( |
)) |
|
|
|
В силу правила Крамера получается решение системы линейных алгебраи- |
||||||||
ческих уравнений. Значит, |
( ) раскладывается в виде полинома. |
|
|
|||||
2. Предположим теперь, что |
не есть простое число. Тогда |
раскладыва- |
||||||
ется в виде произведения целых чисел |
где |
. Предположим, |
||||||
что ( ) |
|
|
( |
|
). Положив |
мы получим |
. |
|
При |
, должно выполняться равенство: |
|
|
|
||||
|
|
|
( |
) |
или |
|
|
|
|
|
|
( |
). |
|
|
|
|
Следовательно, |
должно делиться на . Но делимость |
|
на |
|||||
возможна |
лишь при |
. Получилось противоречие. Значит, при |
|
|||||
функция |
( ) не может быть представлена в виде полинома по |
. |
|
|||||
|
|
|
||||||
Последняя теорема обобщается на случай, когда |
можно снабдить сло- |
|||||||
жением |
и умножением |
, относительно которых |
образует поле. В алгебре |
|||||
|
|
|
|
|
42 |
|
|
|