18Лек. Спектральная классификация линейных фильтров – понятия фнч, фпч, фвч, упч, шпч, чо-фильтр, рч-фильтр. Ответ пояснить соответствующими графиками ачх фильтров.

Линейный фильтр – устойчивая л.н.с. (линейная непрерывная система).

Фильтр называется низкочастотным (ФНЧ) если его АЧХ локализована вблизи частоты f=0, так что f_н =0, где нижняя и верхняя частоты f_н, f_в удовлетворяют энергетическому критерию:

Фильтр называется полосовым ФПЧ, если его АЧХ сосредоточена в полосе частот [f_н, f_в], где . Последнее означает, что нижняя частота фильтра отделена от точки f=0, то есть существует некоторый интервал [0, ], где АЧХ фильтра практически равна 0.

Фильтр называется высокочастотным (ФВЧ), если его АЧХ сосредоточена в полосе частот [f_н, f_в], где

Частные случаи ФВЧ: Узкополосный (УПЧ) – если

Широкополосный (ШПЧ) – если

Фильтр называется частотно-ограниченным (ЧО), если его АЧХ сосредоточена в строго конечной полосе частот , то есть

Фильтр называется режекторным (РЧ), если он подавляет энергию сигнала на частотах в некоторой полосе задержания , но пропускает на всех остальных частотах . АЧХ режекторного фильтра K_рф(f) можно выразить через АЧХ полосового фильтра K_пф(f) по формуле

ФНЧ ПФ ФВЧ

ФПЧ, УПЧ (АЧХ имеет вид ФВЧ)

ЧО (АЧХ может иметь вид ФВЧ, ФНЧ или ПФ)

РФ

19Лек. Описание идеального фильтра нижних частот (ИФНЧ) и идеального полосового фильтра (ИФПЧ) в частотной и временной областях. Вопросы физической реализуемости этих фильтров. Ответ пояснить соответствующими графиками АЧХ и ИХ указанных фильтров.

Идеальным фильтром нижних частот (ИФНЧ) называется фильтр, который в полосе частот пропускает без искажений все сигналы, а вне этой полосы их полностью подавляет.

Комплексный коэффициент передачи ИФНЧ описывается выражением

а его АЧХ и ФЧХ, соответственно равны

Где t₀ ≥0 -временная задержка фильтра. Импульсная характеристика g_ИФНЧ(t) идеального НЧ-фильтра легко прлучается из КЧХ по формуле

У идеального НЧ фильтра АЧХ финитна, имеет прямоугольную форму с постоянным единичным усилением на частотах , а импульсная реакция изменяется по закону sinc(x)= sin(x)/x и отлична от нуля при отрицательных значениях t<0.

Это означает, что ИФНЧ физически не реализуем. (однако можно приблизиться к ИФНЧ, если допустить, что его АЧХ не финитна и имеет сглаженные быстропадающие «хвосты» .

Идеальный полосовой фильтр (ИФПЧ или ИПФ) с центральной частотой f₀ может быть получен из идеального НЧ-фильтра сдвигом его КЧХ по частоте на величину f_0. Данная процедура эквивалентна умножению g_ИФНЧ(t) на гармоническое колебание . В результате ИХ идеального полоcового фильтра будет равна

А его КЧХ и АЧХ описываются выражениями

20Лек. Преобразование Гильберта (ПГ) (прямое и обратное) и его фильтровая реализация. Примеры сопряженных по гильберту сигналов. Выражения для ИХ, КЧХ, АЧХ и ФЧХ фильтра Гильберта и вопросы его физической реализуемости. Ответ пояснить графиками указанных характеристик фильтра Гильберта.

Линейное непрерывное преобразования Гильберта является ограниченным , взаимно однозначным и для любого сигнала s(t) с конечной энергией Es<бесконечности описывается интегральным выражением

Где называется сопряженным по гильберту сигналом. Исходный сигнал s(t) восстанавливается с помощью обратного преобразования Гильберта

(2.37)

Реализация:

Линейные фильтры Гилберта – устойчивые, физически НЕ реализуемы так как импульсная характеристика !=0 при t<0.

Комплексные коэффициенты передачи прямого и обратного фильтра Гильберта:

АЧХ прямого:

ФЧХ прямого:

У обратного фильтра Гильберта (2.43), характеристика АЧХ и ФЧХ имеют вид:

21Лек. Одноквадратурные полосовые сигналы (ОПС) – аналитическое описание ОПС и свойства его формирующей НЧ-квадратуры. Комплексный и амплитудный спектры, энергия и спектральная плотность энергии сигналов ОПС. При ответе привлечь графики спектров, поясняющие формирование ОПС из формирующего НЧ-сигнала. Достоинства/недостатки ОПС.

Определение одноквадратурных полосовых сигналов (ОПС) (2.45):

Пусть задан вещественный низкочастотный (НЧ) сигнал s(t), локализованный в полосе частот , и обладающий свойством четности s(t)=s(-t).

Тогда полученный из него полосовой (ПЧ) сигнал называется одноквадратурным, если он формируется путем умножения s(t) на косинусный или синусный гармонический сигнал с несущей частотой

Свойства его формирующей НЧ квадратуры:

*не уверена, что это, но в лекциях другого нет*

 Каждая из одноквадратурных версий s_0I(t), s_0Q(t) занимает полосу частот , а процедуру преобразования НЧ-сигнала в полосовой сигнал называют одноквадратурной модуляцией с несущей частотой.

Комплексный спектр ОПС (2.46):

Амплитудный спектр ОПС (2.48):

Подставляя выражение для СПЭ (2.47) в находим выражение для АЧХ

,.

Применив вычисления (аналогичные 2.47-2.49), можно убедиться, что выражения для АЧХ сигнала совпадают с АЧХ для , то есть .

Энергия ОПС (2.49):

Энергию сигнала вычисляем, используя выражение для СПЭ и равенство Парсеваля (2.49):

Применив вычисления (аналогичные 2.47-2.49), можно убедиться, что выражения для энергии сигнала совпадают с энергией для , то есть .

Спектральная плотность энергии ОПС (2,47)::

,

Применив вычисления (аналогичные 2.47-2.49), можно убедиться, что выражения для СПЭ сигнала совпадают с СПЭ для , то есть .

Недостатки ОПС:

Эффект расширения полос частот (W=2F) является большим недостатком одноквадратурных полосовых сигналов s_0I(t), s_0q(t), так как каждый из них несет в себе ту же информацию, что и исходный НЧ-сигнал s(t), но требует для передачи по каналу связи вдвое большего частотного ресурса.

Рис. 11 ??

22Лек. Двухквадратурный полосовой сигнала (ДПС) аналитическое описание ДПС, свойства его НЧ-квадратур и понятие комплексной огибающей ДПС. Комплексный и амплитудный спектры, энергия, спектральная плотность энергии таких сигналов ДПС. При ответе привлечь графики спектров, поясняющие формирование ДПС из формирующих НЧ-квадратур. Достоинства/недостатки ДПС.

Пусть заданы 2 четных вещественных НЧ сигнала и , которые локализованы в одинаковой полосе частот , но могут иметь разные спектры . Тогда полученный из него ПЧ сигнал называется двухквадратурным, если он формируется с помощью двух гармонических сигналов c несущей частотой по формуле

Полоса частот, занимаемая таким сигналом: , а и , - НЧ квадратурные составляющие

Входящие одноквадратурные полосовые сигналы называются высокочастотными квадратурными составляющими сигнала (ВЧ квадратуры), определяются формулами:

Обладают свойством ортогональности:

Спектральные характеристики СПЭ, АЧХ, энергии ВЧ-квадратур:

,

Определение комплексной огибающей полосового сигнала

Пусть и низкочастотные квадратуры, входящие в описание полосового сигнала тогда его комплексной огибающей (комплексным низкочастотным эквивалентом) называется сигнал:

Модуль и энергия комплексной огибающей сигнала равны:

На рисунках показано, как преобразуются амплитудные спектры НЧ-квадратур в соответствующие АЧХ полосовых сигналов для случая, когда

Недостатки и преимущества:

1. Эффект расширения полосы частот (W = 2F) является большим недостатком одноквадратурных полосовых сигналов , так как каждый из них несет в себе ту же информацию, что и исходный НЧ-сигнал но требует для передачи по каналу связи вдвое большего частотного ресурса.

2. В случае двухквадратурного сигнала данный недостаток отсутствует, так как в удвоенной полосе частот передается в два раза больше информации, которая заключена в двух низкочастотных квадратурах

23Лек. Основные этапы формирования цифровых сигналов в классической системе посимвольной найквистовой передачи. Привести структурную схему амплитудной цифровой модуляции полосового сигнала (АЦМ-ПС) и пояснить ее работу.

классическая система посимвольной найквистовой передачи.

Формирование полосовых сигналов в такой системе включает следующие этапы.

1. Бинарный информационный поток сначала однозначно отображается в вещественные модуляционные символы сигнального созвездия на прямой (одномерные АМ-созвездия) или плоскости (двухмерные созвездия QAM, QSPK, PSK и др.). Данная процедура называется сигнальным кодированием (СК).

2. Полученные символы модулируют последовательность низкочастотных формирующих импульсов следующих друг за другом через символьный интервал Ts. В результате образуются низкочастотные импульсные сигналы, которые несут в себе информацию о передваемом бинарном сообщении. Это процедура называется цифровой модуляцией. Причем в найквистовой системе передачи выбирают такие импульсы gs(t), сдвиги которых по времени на обеспечивают взаимную ортогональность, т.е.

3. Сформированные НЧ-сигналы в зависимости от типа созвездия затем последовательно преобразуются в одноквадратурный или двухквадартурный полосовой сигнал с несущей частотой f0 для последующей его передачи каналу связи

Цифровые модуляторы (ЦМ) описываются формулами (2.61а), (2.61б), а их структура учитывает специфику используемого сигнального созвездия

Амплитудный (АМ-ПС) и квадратурный (КМ-ПС) модуляторы полосового сигнала, описываются формулами (2.62а) (2.62б) и обеспечивают перенос сформированных НЧ квадратур на несущую частоту.

Наличие ФНЧ в верхней и нижней ветви необязательно, если g(t) частотно-ограниченный импульс, локализованный в полосе частот

Если же условие частотной ограниченности не выполняется, то ФНЧ необходимы для дополнительного подавления внеполосного излучения на выходе каждой из этих систем. Поэтому желательно, чтобы АЧХ этих фильтров была близка к идеальному ФНЧ:

24Лек. Основные этапы формирования цифровых сигналов в классической системе посимвольной найквистовой передачи. Привести структурную схему квадратурной цифровой модуляции полосового сигнала (КЦМ-ПС) и пояснить ее работу.

Этапы формирования сигнала

классическая система посимвольной найквистовой передачи.

1. Бинарный информационный поток сначала однозначно отображается в вещественные модуляционные символы сигнального созвездия на прямой (одномерные АМ-созвездия) или плоскости (двухмерные созвездия QAM, QSPK, PSK и др.). Данная процедура называется сигнальным кодированием (СК).

2. Полученные символы модулируют последовательность низкочастотных формирующих импульсов следующих друг за другом через символьный интервал Ts. В результате образуются низкочастотные импульсные сигналы, которые несут в себе информацию о передваемом бинарном сообщении. Это процедура называется цифровой модуляцией. Причем в найквистовой системе передачи выбирают такие импульсы gs(t), сдвиги которых по времени на обеспечивают взаимную ортогональность, т.е.

3. Сформированные НЧ-сигналы в зависимости от типа созвездия затем последовательно преобразуются в одноквадратурный или двухквадартурный полосовой сигнал с несущей частотой f0 для последующей его передачи каналу связи

Схема квадратурной цифровой модуляции полосового сигнала (КЦМ-ПС)

Цифровые модуляторы (ЦМ) описываются формулами (2.61а), (2.61б), а их структура учитывает специфику используемого сигнального созвездия

Амплитудный (АМ-ПС) и квадратурный (КМ-ПС) модуляторы полосового сигнала, описываются формулами (2.62а) (2.62б) и обеспечивают перенос сформированных НЧ квадратур на несущую частоту.

Наличие ФНЧ в верхней и нижней ветви необязательно, если g(t) частотно-ограниченный импульс, локализованный в полосе частот

Если же условие частотной ограниченности не выполняется, то ФНЧ необходимы для дополнительного подавления внеполосного излучения на выходе каждой из этих систем. Поэтому желательно, чтобы АЧХ этих фильтров была близка к идеальному ФНЧ:

25Лек. Основные этапы формирования цифровых сигналов в классической системе посимвольной найквистовой передачи. Привести структурную схему амплитудной цифровой демодуляции полосового сигнала (АЦД-ПС) и пояснить ее работу.

Классическая система посимвольной найквистовой передачи – метод модуляции сигнала.

Формирование полосовых сигналов в такой системе включает этапы:

1. Сигнальное кодирование. (Дальше идет пиздец, думаю можно просто оставить что 1й пункт - кодирование) Бинарный поток однозначно отображается в вещественные модуляционные символы сигнального созвездия на прямой (одномерные АМ-созвездия) или плоскости (двумерные созвездия QAM, QSPK, PSK и др.)

2. Цифровая модуляция. Полученные символы модулируют последовательность низкочастотных формирующих импульсов

. В результате образуются низкочастотные импульсные сигналы, которые несут в себе информацию о передаваемом бинарном сообщении. В найквистовой системе передачи выбирают такие импульсы , сдвиги которых во времени на , обеспечивают их взаимную ортогональность

3. Сформированные НЧ-сигналы в зависимости от типа созвездия затем последовательно преобразуются в одноквадратурный или двухквадратурный полосовой сигнал с несущей частотой для последующей его передачи каналу связи.

• При цифровой амплитудной модуляции (АМ) используют одноквадратурные полосовые сигналы.

• При модуляции типа QAM, QPSK, PSK используют двухквадратурные полосовые сигналы.

Процедуры формирования таких сигналов называются:

• Амплитудной модуляцией полосового сигнала (АМ-ПС)

• Квадратурной модуляцией полосового сигнала (КМ-ПС)

Все полосовые сигналы вне зависимости от модуляции имеют низкочастотные квадратуры – задаются в виде произведения вещественного модулирующего символа сигнального созвездия на низкочастотный импульс :

• 

– координаты точки одномерного АМ-созвездия , которую надо передать по каналу связи с помощью одноквадратурного полосового сигнала

(2.45:

).

Любая точка передается одной НЧ-квадратурой

• 

– координаты точки двухмерного сигнального созвездия передаваемые в канал с помощью двухквадратурного полосового сигнала (2.52:

)

Любая точка двухмерного созвездия передается с помощью двух НЧ-квадратур , независимо от типа модуляции.

– вещественный низкочастотный формирующий импульс сигнального базиса в полосе и обладающий свойством четности .

Индекс модуляции (размерность сигнального созвездия) – число точек в созвездиях . Обычно индекс модуляции выбирается равным , n – число бит, передаваемых одной точкой созвездия.

Чем больше индекс, тем больше цифровой информации можно передать по каналу связи в единицу времени (выше скорость передачи).

С учетом (2.61а) и (2.61б) процедуры АМ-ПС и КМ-ПС модуляции приводят к формированию полосовых сигналов:

• 

• 

– вещественные модулирующие символы соответствующих квадратур.

КМ сигнал можно сформировать по эквивалентной формуле

– комплексный модулирующий сигнал КМ-сигнал, – комплексная огибающая сигнала

Схема амплитудной цифровой модуляции полосового сигнала (АЦМ-ПС)	Схема квадратурного цифрового модулятора полосового сигнала (АЦМ-ПС)

Наличие ФНЧ необязательно, если частотно-ограниченный импульс, локализованный в полосе частот . Если условие не выполняется, то ФНЧ обязательны, чтобы подавлять внеполосовое излучение.

26Лек. Основные этапы формирования цифровых сигналов в классической системе посимвольной найквистовой передачи. Привести структурную схему квадратурной цифровой демодуляции полосового сигнала (КЦД-ПС) и пояснить ее работу.

Основные этапы формирования цифровых сигналов в классической системе посимвольной найквистовой передачи. Привести структурную схему квадратурной цифровой демодуляции полосового сигнала (КЦД-ПС) и пояснить ее работу.

Схемы амплитудной цифровой демодуляции полосового сигнала (АЦД-ПС) и квадратурной цифровой демодуляции полосового сигнала (КЦД-ПС), позволяющие восстановить информацию, содержащуюся в модулирующих символах

полосовых сигналов (2.62), представлены на рис. 2.10-2.11.

• Амплитудный (АД-ПС) и квадратурный (КД-ПС) демодуляторы полосового сигнала обеспечивают перенос его спектра с несущей частоты на нулевую частоту и выделение НЧ квадратур

• Цифровой демодулятор (ЦД) восстанавливает из полученных квадратур модулирующие символы

Согласно рис. 2.10-2.11 для выполнения этих процедур надо в каждой ветви:

1. Умножить входной полосовой сигнал или на несущие гармонические колебания и

2.  Затем пропустить полученные результаты через ФНЧ с частотной характеристикой близкой к ИФНЧ (2.29)-(2.30) и СФ фильтры, согласованные с базисным импульсом

Указанные на схеме ФНЧ-фильтры являются обязательными элементами, так как необходимы для подавления сигналов на удвоенной несущей частоте и возможных аддитивных помех, действующих в канале связи.

В результате, в верхней и нижней ветвях КД-ПС на выходе ФНЧ выделяются низкочастотные квадратурные компоненты (2.61б), а в единственной ветви АД-ПС на выходе ФНЧ получаем (2.61а)

Где ­­– значение точки одномерного AM-созвездия , которую надо передать по каналу связи с помощью одноквадратурного полосового сигнала (2.45);

– координаты точки двухмерного сигнального созвездия , передаваемые в канал с помощью двухквадратурного полосового сигнала (2.52);

- вещественный низкочастотный формирующий импульс сигнального базиса, локализованный в полосе частот и обладающий свойством четности

27Лек. Аналитическое описание процедур идеальной и реализуемой дискретизации непрерывного сигнала. Соответствующие структурные схемы дискретизации, как они работают. Ответ пояснить графиками сигналов на входе и выходе схем.

Пусть задан непрерывный, в общем случае комплексный сигнал с конечной энергпей , тогда математически строгая процедура его дискретизации по времени в моменты описывается выражением

-интервал дискретизации, - сдвинутые по времени дельта-импульсы Дирака, – отсчеты сигнала, к-е в зависимости от удобства обозначаются

Справедливость равенства (3.1) непосредственно следует из фильтрующего свойства дельта-функции (1.84):

Пунктиром на схеме выделен идеальный дискретизатор (ИД), который описывается линейным оператором:

Его действие сводится к стробированию сигнала дельта-импульсом D(t-i в момент времени а потом интегрированию на интервале, охватывающим точку t_{i .} часто для упрощения схемы идеальный дискретизатор изображен в виде ключа, а ИФНЧ заменяют на ФНЧ как показано на рис.3.26.

На практике процедура означает, что исходный сигнал s(t) стробируется в моменты времени узким гладким импульсом .

Процедура дискретизации и ее схемная реализация представлены на рис.3.2. Пунктиром на схеме выделен реальный дискретизатор (РД), который описывается линейным оператором:

28Лек. Теорема дискретизации Котельникова (классическая). Особенности применения данной теоремы в случае конечного числа отсчетов сигнала, а также частотной ограниченности или неограниченности спектра.

Теорема Котельникова:

1. Любой непрерывный частотно-ограниченный (ЧО) сигнал s(t) , локализованный в полосе частот и удовлетворяющий условию 1/29 , может быть точно восстановлен из бесконечной последовательности своих отсчетов

(3.5)

Взятых в момент времени с интервалом дискретизации , - максимальная частота в спектре. Причем частота является минимальной частотой дискретизации, при котором точное восстановление еще возможно.

2. Алгоритм восстановления непрерывного ЧО-сигнала по его дискретным отсчетам описывается рядом Котельникова-Шеннона

Конечное число отсчетов:

Например, если после дискретизации каузального ЧО-сигнала s(t),t больше или равно нулю ограничиться только конечным числом отсчетов N, то восстановленный сигнал

Будет отличаться от исходного сигнала s(t). Причем ошибка восстановления равна

29Лек. Определение энергии дискретного сигнала. Прямое и обратное дискретно непрерывное преобразование Фурье (ДНПФ и ОДНПФ) дискретного сигнала. Определение двухстороннего Z-преобразования, связь ДНПФ с Z преобразованием. Определение комплексного, амплитудного и фазового спектров дискретного сигнала и его спектральной плотности энергии.

Определение энергии дискретного сигнала (3.10):

Пусть дискретный сигнал получен по теореме Котельникова в результате дискретизации непрерывного ЧО-сигнала , с конечной энергией . Тогда энергией дискретного сигнала будем называть величину:

которая, тоже конечна и измеряется в джоулях [В²с]=[Дж]

Определение комплексного спектра дискретного сигнала (ДНПФ) (3.11):

Пусть – дискретный вещественный сигнал с конечной энергией , отсчеты которого получены с интервалом дискретизации Δ>0 из непрерывного сигнала , тогда его комплексным спектром называется дискретно-непрерывное преобразование Фурье (ДНПФ) сигнала, описываемое выражением

,

Где оператор ДНПФ, .

Определение ОДНПФ (3.12):

Зная комплексный спектр P_Д(if), можно однозначно восстановить исходный дискретный сигнал, используя обратное дискретно-непрерывное представление Фурье (ОДНПФ)

по формуле (не знаю, насколько нужно, но пусть будет)

*преобразования являются аналогами прямого и обратного преобразований Фурье для непрерывных сигналов.

Определение двухстороннего Z-преобразования (3.14):

Пусть задан дискретный сигнал тогда его двухсторонним Z-преобразованием называется комплексная функция переменной , задаваемая в виде ряда

А соответствующий оператор описывается формулой

Связь ДНПФ с Z-преобразованием (3.15):

Комплексный ДНПФ спектр P_Д(if) дискретного сигнала может быть вычислен с использованием двухстороннего Z- преобразования по формуле

*для нахождения P_Д(if) достаточно найти Z-преобразование сигнала S(z) и сделать замену z=e^j2pfΔ и результат умножить на Δ.

Определение комплексного спектра дискретного сигнала (3.11) :

*тут не уверена, но по сути то же, что и в определении ДНПФ*

Пусть – дискретный вещественный сигнал с конечной энергией , отсчеты которого получены с интервалом дискретизации Δ>0 из непрерывного сигнала , тогда его комплексным спектром называется дискретно-непрерывное преобразование Фурье (ДНПФ) сигнала, описываемое выражением

,

Где оператор ДНПФ, .

Определение амплитудного спектра дискретного сигнала (3.16):

Амплитудным спектром дискретного сигнала называется неотрицательная вещественная функция частоты, определяемая выражением = АЧХ дискретного сигнала:

Определение фазового спектра дискретного сигнала (3.17):

Фазовым спектром дискретного сигнала называется вещественная функция частоты, определяемая выражением = ФЧХ дискретного сигнала:

Определение спектральной плотности энергии (3.19):

Спектральной плотностью энергии (СПЭ) дискретного сигнала называется неотрицательная вещественная функция частоты, описываемая выражением:

*характеризует распределение энергии дискретного сигнала вдоль оси частот. Свойство ее вещественности и неотрицательности следует из опр.

30Лек. Свойства спектра дискретного сигнала – линейность ДНПФ спектра, свертка двух дискретных сигналов и спектр свертки, классическое равенство Парсеваля, свойства периодичности и симметрии ДНПФ спектра. Понятие частоты Найквиста и соответствующего рабочего диапазона частот. Ответ пояснить графиками спектров.

Свойства спектра дискретного сигнала

Свойство №1. Линейность дискретно-непрерывное преобразование Фурье (ДНПФ) спектра

Комплексный спектр линейной комбинации s[i]=as₁[i] + bs₂[i] a, b, , i Z

двух дискретных сигналов равен линейной комбинации спектров этих сигналов

Определение 3.6. (свертка двух дискретных сигналов)

Сверткой двух дискретных сигналов называется дискретный сигнал x[i], определяемой формулой

Свойство №3. Спектр свертки

Комплексный спектр свертки (s[i] * u[i]) двух дискретный сигналов равен произведению их спектров.

Обратное – если комплексный спектр сигала x[i] представляется в виде произведения спектров двух других сигналов, то он равен их свертке, т.е. справедливо

Свойство №4. Равенство Парсеваля

Энергия дискретного сигнала s[i] может быть вычислена по его спектральным характеристикам P_Д(jf) или G_Д(f) на основе равенства Парсеваля:

Эти свойства:

Свойство №5. Периодичность спектра.

Комплексный и амплитудные спектры дискретного сигнала являются периодическими функциями частоты на бесконечном интервале (-∞;+∞) = R частот с периодом f_д

Данное свойство показано на след. Рисунке

Свойство №6. Симметрия спектра.

Комплексный и амплитудные спектры дискретного вещественного сигнала {s_i} ∈ R симметричны относительно частоты Найквиста:

ΔН=[0,fн] – диапазон Найквиста . но в сулчае комплексного дисркетного сигнала св-во симметрии может нарушаться и поведение его спектра полноценно отображается только на интервале [0, fД]

31Лек. Аналитическая связь ДНПФ-спектра дискретного сигнала с НПФ-спектром непрерывного сигнала. Графическая интерпретация этого свойства на примере частотно-ограниченного сигнала. Спектральная интерпретация классической теоремы Котельникова, вытекающая из графиков этих спектров.

Свойство 3.8. (связь со спектром непрерывного сигнала)

Между комплексным спектром дискретного сигнала (3.11) и спектром непрерывного сигнала существует связь, определяемая следующим выражением (3.28)

Которое справедливо и для сигналов с частотно-неограниченным спектром.

В случае ЧО-сигнала при выполнении условия теоремы Котельникова аналогичное свойство справедливо и для амплитудных спектров (3.29)

Спектральная интерпретация теоремы Котельникова для частотно-ограниченных сигналов

Теорема Котельникова допускает простую спектральную интерпретацию. Для этого рассмотрим комплексный спектр дискретного ЧО-сигнала полученного из непрерывного из непрерывного при разных частотах дискретизации.

1. Пусть f_Д , т.е. выполнено условие дискретизации теоремы Котельникова. справедливо равенство Это означает, что если пропустить дискретный сигнал со спектром через ИНФЧ с АЧХ

то спектр выходного сигнала фильтра будет равен

То есть совпадает со спектром непрерывного ЧО сигнала.

2. Если , то точное восстановление непрерывного ЧО-сигнала с помощью ИНФЧ уже становится невозможным, так как спектр непрерывного сигнала в диапазоне искажается за счет наложения на него сдвинутых по частоты спектров из соседних участков.

32Лек. Аналитическое описание процедуры восстановления непрерывного сигнала из его отсчетов. Структурная схема восстановления непрерывного сигнала (аналогового преобразователя (АП) дискретного сигнала) – основные ее элементы и описание работы.

Процедура восстановления сигнала

Чтобы восстановить непрерывный сигнал нужно сначала дискретную последовательность отсчетов преобразовать в последовательность непрерывных импульсов :

Выражение описывает работу идеального амплитудноимпульсного преобразователя (АИП) дискретного сигнала, который в момент времени преобразуем поступающий на его вход числовой отсчет s_i в узкий дельта-импульс с амплитудой пропорциональной величине

Процедура восстановления принимает вид:

Структурная схема восстановления сигнала:

АИП – Аналого-информационный преобразователь

ИФНЧ – Идеальный фильтр нижних частот

Вместе образуют АП (аналоговый преобразователь)

Описание работы:

Каждый поступивший на вход АИП сигнал отсчет s_i преобразуется в одиночный непрерывный импульс

Для полного восстановления сигнала нужно, чтобы на один вход умножителя АИП поступила вся последовательность отсчетов сигнала , на вход синхронно подавалась последовательность сдвинутых дельта-импульсов , а выход умножителя масштабировался в раз. Наличие ФНЧ в схеме является обязательным. Он фильтрует и одновременно суммирует послеовательно поступающие на его вход импульсы , формируя на выходе непрерывный сигнал .

33Лек. Дискретизация и восстановление одноквадратурного непрерывного полосового сигнала – структурные схемы амплитудного демодулятора дискретизатора полосового сигнала (АДД-ПС) и амплитудного аналогового преобразователя полосового сигнала (ААП-ПС). Описание работы этих схем и вытекающая из них теорема Котельникова для одноквадратурных полосовых сигналов.

Рассмотрим одноквадратурный полосовой сигнал:

Дискретизация:

Одноквадратурная схема с преобразованием частоты = схема амплитудной демодуляции-дискретизации полосового сигнала (АДД-ПС).

Схема состоит из:

АД-ПС – амплитудный демодулятор полосового сигнала

ИД – идеальный дискретизатор.

1. На выходе АД-ПС выделяется ЧО НЧ сигнал с максимальной частотой спектра F.

2. Поэтому s(t) можно дискретизировать по классической т. Котельникова с частотой дискретизации f_д^’=2F=W – это выполняем ИД.

3. На выходе ИД формируется последовательность дискретных отсчетов сигнала s(t).

Таким образом мы понизили частоту дискретизации до f_д^’=W f_д.

Восстановление:

Для этого последовательность нужно подать на схему амплитудно-аналогового преобразователя полосового сигнал (ААП-ПС).

Включает в себя:

АИП – амплитудно-импульсный преобразователь.

АМ-ПС – амплитудный модулятор полосового сигнала.

1. Блок АИП преобразует поступающие на вход числовые отсчеты s_i в узкие дельта-импульсы с амплитудой .

2. Эти импульсы после прохождения чеез ФНЧ в блоке АМ-ПС превращаются в непрерывный НЧ-сигнал s(t).

3. На выходе блока АМ-ПС формируется полосовой сигнал s_0I(t).

Другая разновидность одноквадратурного полосового сигнала может быть дискретизирована с частотой f_д^’=W f_д, а затем точно восстановлена по отсчетам. Для этого необходимо заменить

34Лек. Дискретизация и восстановление двухквадратурного непрерывного полосового сигнала – структурные схемы квадратурного демодулятора дискретизатора полосового сигнала (КДД-ПС) и квадратурного аналогового преобразователя полосового сигнала (КАП-ПС). Описание работы этих схем и вытекающая из них теорема Котельникова для двухквадратурных полосовых сигналов.

Дискретизация двухквадратурного полосового сигнала:

Рассмотрим двухквадратурный полосовой сигнал который представляет сумму двух одноквадратурных полосовых сигналов и с разными низкочастотными квадратурными составляющими и , но которые локализованы в одинаковой полосе частот . ПЧ-сигнал занимает ту же полосу частот шириной , что и каждый из одноквадратурных сигналов, описанных выше.

Для дискретизации необходимо применить к двухквадратурную схему дискретизации с преобразованием частоты (схема квадратурной демодуляции-дискретизации полосового сигнала).

Рис. Структурная схема КДД-ПС.

Схема состоит из квадратурного демодулятора полосового сигнала (КД-ПС) и двух идеальных дискретизаторов (ИД).

Описание работы:

• Сигнал разветвляется на два квадратурных канала, в которых происходит ортогональное разделение и обработка одноквадратурных полосовых компонентов и по алгоритму АД-ПС.

• В каждом канале выполняется понижение центральной частоты f₀ до нудевого значения и восстановление НЧ-квадратур , с максимальной частотой спектра F. Поэтому их можно дискредитировать по классической теореме Котельникова с частотой дискретизации - выполняют блоки ИД.

• На выходе ИД формируются 2 последовательности дискретных отсчетов низкочастотных квадратур .

• Может быть найдена дискретизированная комплексная огибающая полосового сигнала, которая равна .

Так для двухквадратурного полосового сигнала за счет дополнительной процедуры КД-ПС существенно понизили частоту дискретизации до значения .

Восстановление двухквадратурного полосового сигнала:

Для того, чтоб по полученным отсчетам НЧ-квадратуры точно восстановить двухквадратурный полосовой сигнал необходимо подать эти последовательности на схему квадратурного аналогового преобразователя полосового сигнала (КАП-ПС).

Рис. Структурная схема КАП-ПС.

Схема является двухканальной и включает в себя амплитудно-импульсные преобразователи (АИП) дискретных квадратур и квадратурный модулятор полосового сигнала (КМ-ПС).

Описание работы:

• Блоки АИП каждого квадратурного канала преобразуют поступающие на вход числовые отсчеты или в моменты времени в узкие дельта-импульсы:

С амплитудами и соответственно.

• После прохождения через ФНЧ в блоке КМ-ПС импульсы преобразуются в непрерывные НЧ-сигналы .

• На его выходе после преобразования частоты формулируется двухквадратурный полосовой сигнал

Теорема Котельникова для полосовых сигналов:

Любой непрерывный вещественный полосовой ЧО-сигнал , локализованный в полосе частот , где , может быть дискретизирован с минимальной частотой дискретизации с помощью квадратурных схем дискретизации, а затем точно восстановлен из полученных дискретных отсчетов с помощью квадратурных аналоговых преобразователей. Конкретный вид используемой схемы зависит от типа полосового сигнала.