4 курс / 3 Дист. м. основы теории случайных процессов, ТМО
.pdf7 Многоканальные системы массового обслуживания
Многоканальные СМО состоят из определенного числа каналов n, каждый из которых занимается обслуживанием поступающих заявок. При занятости одного из каналов, заявка обслуживается на другом. При занятости всех каналов, заявка встаёт в очереди и ожидает обслуживания. Примером таких систем являются бригады ПТОВ в парках станций; вытяжные пути формирования с работающими на них маневровыми локомотивами; сортировочная горка, работающая в режиме параллельного роспуска; билетные кассы на вокзалах и др. Для многоканальной СМО будет проводиться четкая граница между загрузкой и приведенной интенсивностью.
1. Пуассоновский (простейший) входящий поток, показательное время распределения обслуживания. В систему поступает пуассоновский входящий поток с интенсивностью λ. Требования обслуживаются n каналами с интенсивностью μ. Время обслуживания распределено по показательному
закону. По аналогии с одноканальными СМО, в первую очередь необходимо |
|||||||
определить вероятность 0. |
|
2 |
|
+1 |
−1, |
|
|
где n – число каналов0 = .(1Можно+ 1! + 2!сказать+ +, !что+ !(все− ))слагаемые, |
исключая |
||||||
последнее, соответствуют |
числу |
каналов. А |
слагаемое |
!( − ) |
является |
||
+1 |
|||||||
компонентой, отвечающей за наличие очереди. Длина очереди определяется
следующим образом: |
|
+1 0 |
|
||
|
|
, |
|||
|
оч = · !(1− / ),2 |
|
|||
|
сист |
|
оч |
|
|
Длительность ожидания в очереди и нахождения заявки в системе |
|||||
|
|
= |
|
+ |
|
можно определить по формуле Литтла.
Пример. В здании вокзала работают две пассажирские кассы по продаже билетов. В час к кассам поступает 70 пассажиров. В среднем на оформление билета затрачивается 1,5 минуты. Поступающий поток
пассажиров простейший, время распределения обслуживания – показательное. Определить длину очереди, установившуюся перед кассами и время ожидания обслуживания.
Решение. Интенсивность входящего потока λ = 70 пасс/ч. Число каналов n = 2. Определим
интенсивность обслуживания: |
|
|
|
|
= |
60 = 40 пасс/ч. |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Приведенная интенсивность составит: |
|
1,5 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определим вероятность |
0 |
: |
|
1,75 |
|
= = 1,75 |
−1 |
||||
|
0 |
|
|
+ |
1,752 |
1,752+1 |
|||||
Длина очереди: |
= (1 + 1! |
|
2! |
+ 2! (2 −1,75)) |
= 0,067 |
||||||
|
|
|
|
оч = |
1,752+1 · 0,067 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1,75 2 = 5,75 пасс. |
|||
Время ожидания в очереди определим по формуле Литтла: |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 · 2! 1 − |
2 |
|
|||
|
|
|
|
|
оч = 5,75 = 0,082 = 4,9 мин. |
||||||
2. Пуассоновский |
( |
простейший) входящий поток, произвольное |
|||||||||
|
|
70 |
|
|
|||||||
время распределения обслуживания. В систему поступает пуассоновский входящий поток с интенсивностью λ. Требования обслуживаются n каналами
с интенсивностью μ. Время обслуживания распределено по произвольному |
||
закону с коэффициентом вариации об. (1+ об2 ), |
|
|
оч = 2(1− ) |
; 1 ≤ ≤ 4 |
|
2 2 |
, |
|
= (−1)(−2)+ (2+−2) |
|
|
Длина очереди также определяется по формуле Литтла.
Пример. На контейнерную площадку, обслуживаемую тремя кранами, поступает пуассоновский поток автомобилей с λ = 16 авт./ч. Время на выполнение грузовых операций имеет эрланговское распределение 2-го порядка со средним значением об = 10 минут. Необходимо определить среднее время ожидания обслуживания и среднюю длину очереди.
60
Определим характеристики каналов обслуживания:
= 10 = 6 авт/чоб = √1 = √12 = 0,71
Определим приведенную интенсивность: 16
= 6 = 2,67
Загрузку СМО определим по формуле (5):
|
|
|
|
|
2,67 |
= 0,89. |
|
|
|
|
= |
|
|
= |
= 3 |
|
= 0,534 |
||
|
|
22 |
· 0,892 |
|
|
− 2) |
|||
Тогда среднее время |
|
(3 − 1)(3 −2) + 0,89(2 · 3 + 3 · 0,89 |
|
||||||
|
|
|
0,89 · 0,534(1 + 0,712) |
|
|
|
|||
|
ожидания обслуживания: |
|
|
|
|
||||
оч = |
|
2 · 3 · 6(1 − 0,89) |
|
= 0,18 ч = 11 минут |
|||||
|
|
|
|
оч = 0,18 · 16 = 2,88 авто. |
|
|
|||
3. Эрланговский |
входящий |
|
поток, эрланговское время |
||||||
распределения обслуживания. В систему поступает эрланговский
входящий поток с интенсивностью λ и коэффициентом вариации |
. |
|||
Требования обслуживаются n каналами с интенсивностью μ |
вхи |
|||
коэффициентом вариации об. Время нахождения очереди определяется: |
|
|||
оч = 2 (1− )(1−(1− ) вх) |
|
|
||
|
2 |
( вх+ ) |
, |
|
|
2 2 |
|
||
Как правило, наибольший интерес представляют задачи, требующие принятия какого-либо решения, относительно структуры работы СМО. Например, увеличение числа каналов, объединение нескольких каналов в один и др. Любой из подобных вариантов может оказать как положительный, так и негативный эффект на качество работы СМО. В качестве критериев, по которому можно сравнивать предлагаемые варианты, можно использовать длину очереди, время простоя а также экономический эффект.
Пример. В парке приема прибывшие в расформирование поезда осматривает одна бригада ПТО.
Ежесуточно в расформирование прибывает |
|
поездов через интервалы времени, распределенные по |
||||||
закону Эрланга с коэффициентом вариации р |
==770,71. Продолжительность осмотра состава |
= 0,25 ч, |
||||||
коэффициент вариации |
= 0,32. Определить целесообразностьвх |
привлечения второй бригады осмотрщиковосм |
, |
|||||
если суточная оплата на обее содержание |
сПТО |
= 100 у.е., приведенная стоимость 1 вагоно-ч |
св−ч |
= 0,20 у.е. и |
||||
средний состав поезда m = 50 вагонов. |
|
|
|
|
|
|||
Решение. Две бригады целесообразны, если оплата второй меньше экономии от сокращения затрат, |
||||||||
связанных с простоем вагонов в ожидании |
технического осмотра. Рассмотрим вариант работы одной |
|||||||
|
= |
2477 = 3,21 сост/час, = 0,125 = 4 сост/час |
|
|
|
|||
бригады в качестве одноканальной СМО: |
|
|
|
|
|
|
||
|
= 3,21 = 0,80 |
Тогда средний простой по первому варианту4составит: |
|
оч = 2·4(1−0,80)(1−(1−0,80)0,71) = 0,28 ч. |
|
1 |
0,82(0,712+0,322) |
|
|
Далее рассмотрим вариант работы двух бригад в качестве многоканальной СМО:
|
|
|
|
= |
0,80 |
= 0,4 |
|
|
|
|
||
= |
|
|
|
2 |
|
|
|
= 0,57 |
||||
|
|
22 |
· 0,42 |
|
|
|
||||||
Тогда средний простой по(2 − 1)(2 − 2) + 0,4(2 · 2 + 2 · 0,4 − 2) |
|
|||||||||||
|
2 |
0,42 · 0,57(0,712 |
+ 0,322) |
|
|
|
|
|||||
оч = |
второму варианту составит: |
2 |
|
= 0,01 ч. |
||||||||
2 · 2 · 4(1 − 0,4)(1 − (1 − 0,4)0,71 |
) |
|||||||||||
Сокращение простоя |
|
|
|
|
||||||||
Ежесуточная экономия |
= |
|
− = 0,28 − 0,01 = 0,27 ч |
|||||||||
|
вагонов в парке приема: |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
оч |
оч |
|
|
|
|
|
|
|
||
= затратр · :· · св−ч = 77 · 50 · 0,27 · 0,2 = 207,9 у. е.
Затраты на содержание дополнительной бригады – 100 у.е. < 207,9 у.е. Следовательно, можно сделать вывод о том, что привлечение второй бригады ПТО является целесообразным.
Основные варианты сочетаний распределений интервалов входящего потока и времени обслуживания приведены в Приложении А.
8 Многофазные системы массового обслуживания
В предыдущих подразделах системы массового обслуживания располагали однотипными аппаратами обслуживания, обладающими одинаковыми характеристиками, хотя в реальной действительности это бывает не совсем так. Часто аппаратов обслуживания может быть несколько, а выполняемые ими функции могут отличаться. Такие СМО называются многофазными. Примером многофазной СМО может служить сортировочная станция: поезда, поступающие в расформирование, сначала обрабатывают бригады ПТО, а затем расформировывают на горке, т.е. заявка проходит несколько фаз обслуживания.
Рисунок 3.2 – Многофазная система массового обслуживания
При переходе из одной фазы в другую, интенсивность потока заявок λ остаётся постоянной, в то время как коэффициент вариации ν на выходе из каждой фазы изменяется (при условии, что у входящего потока и
распределения времени обслуживания |
он |
изначально |
отличался). |
|
Тогда |
|||||||||||||||||
коэффициент вариации выходящего потока определяется как |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
вых = вх − |
|
( вх − об) |
, |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
вх |
|
об |
|
|
|
2 |
|
2 |
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
где |
|
, |
|
|
- коэффициенты вариации соответственно входящего потока и |
|||||||||||||||||
|
|
обслуживания; |
|
|
– |
|
коэффициент |
загрузки аппарата |
||||||||||||||
времени |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
обслуживания (фазы). Как видно= |
из формулы (23), на величину |
вых |
во |
|||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||
многом влияет загрузка |
аппарата |
обслуживания. |
Если аппарат |
загружен |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
сильно, |
то величина |
|
|
|
|
|
|
|
всегда |
|
|
; если же аппарат |
||||||||||
|
будет отклоняться в сторону |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
вых |
|
|
вых |
|
|
|
вх |
|
вх |
|
|
|
|
|||
загружен |
слабо, то вых |
|
будет |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
приближено к |
|
. обЕсли все потоки |
|||||||||||||||||||
простейшие, то коэффициент вариации |
|
|
|
|
|
будет равен . |
|
|
|
|
||||||||||||
Рассмотрим многофазную СМО с пуассоновским входящим потоком с интенсивностью λ и показательным распределением времени обслуживания в каждой из фаз. Определим основные характеристики системы:
Вероятность того, что оба=аппарата(1 − )(1свобо− дны) от заявок:
где 1, 2 – загрузка первой0.0и второй фазы1 соответственно2 , . Математическое ожидание числа требований (т.е. число заявок, одновременно находящихся в
СМО), находящихся в двухфазнойМ = системе+ :
1−11 1−22,
Следует обратить внимание на то, что способ определения слагаемых в формуле (25) схоже с формулой (12), т.е. фактически мы находится число заявок в системе для каждой из фаз, а затем суммируется.
Пример. В парк приема сортировочной станции в переработку прибывает пуассоновский поток
поездов со средней интенсивностью λ = 3,0 п/ч. Время обработки бригадой осмотрщиков |
=15 мин, |
|||||||||||
расформирования на горке =12 мин. Определим математическое ожидание числа составов, находящихсяобсл |
в |
|||||||||||
Интенсивность расформирования поездов 1 = 1260 = 5 сост/ч; 1 |
= 15 = 4 сост/ч; |
|
|
|||||||||
парке, и вероятность их отсутствияг |
там. |
|
|
|
|
|
|
|
60 |
|
|
|
Решение. Интенсивность обработки бригадой в парке приема |
|
|
||||||||||
Коэффициент загрузки бригады 1 = |
43 |
= 0,75; |
|
|
|
|
||||||
Коэффициент загрузки бригады |
|
1 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
0,75 |
3 |
|
+ |
0,6 |
= 4,5 состава. |
|
|
||||
|
|
М = |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
числа составов, находящихся |
системе: |
|
|
||||||
Тогда математическое ожидание = |
|
= 0,6; |
|
|
|
|
||||||
|
|
0.0 |
= (1 − 0,75)(1 −0,6) = 0,1. |
|
|
|
||||||
Вероятность отсутствия |
составов в парке: |
1 − 0,6 |
|
|
|
|
||||||
|
|
1 − 0,75 |
|
|
|
|
|
|||||