Рисунок 5 – Схема работы системы массового обслуживания

Рассмотрим билетную кассу в качестве СМО. Каналом обслуживания является непосредственно касса, затрачивающая определенное время на обслуживание клиента, оформляя проездной документ. Под требованиями (заявками), поступающими в СМО, понимаются сами клиенты, желающие приобрести билет. Как правило, у любой кассы, существующей в действительности, присутствует очередь. Практический опыт подсказывает, что избежать очередей можно с помощью ускорения обслуживания или увеличения числа обслуживающих каналов, однако принять обоснованное решение без использования ТМО достаточно тяжело. В действительности можно разработать достаточно большое количество вариантов, положительно влияющих на эффективность работы СМО: добавление или устранение канала обслуживания, специализация каналов, объединение нескольких устройств обслуживания в один канал и др. Однако ни один из этих вариантов не может быть очевидным без осуществления соответствующих расчетов, что будет доказано в дальнейшем.

Входящий поток заявок

В первую очередь, исследуя СМО, необходимо определить характеристики того, что будет обслуживаться, т.е. входящего потока заявок. Входящим потоком называется поток последовательных событий, происходящих через определенные интервалы времени. Примерами потоков заявок на транспорте являются: пассажиры, покупающие билеты в кассах; поезда, поступающие на станцию; вагоны, поступающие на сортировочный путь; локомотивы и вагоны, поступающие на осмотр и т.д.

Основной характеристикой входящего потока является интенсивность. Интенсивность входящего потока (λ) – количество заявок, поступающих в

описываются следующими законами распределения: пуассоновским, эрланговским, биномиальным, нормальным. Если пуассоновский поток обладает свойствами стационарности, ординарности и отсутствием последействия, его называют простейшим. Стационарным является такой поток, интенсивность которого остаётся постоянной в любой промежуток времени. Ординарным называется поток, в котором два и более события не могут произойти одновременно. Под отсутствием последействия понимается независимость времени поступления заявки от того, как и в какое время поступали предыдущие заявки.

Простейший поток играет особую роль в ТМО. Он является самым неравномерным и одновременно самым простым для описания с точки зрения математического моделирования, т.к. он стационарен, ординарен и без последействия. Помимо этого, при суммировании большого числа

ординарных, стационарных потоков с любым последействием получается поток, близкий к простейшему. В этом заключается его сходство с нормальным распределением, которое также имеет место быть при суммировании большого количества различных распределений.

Другим важным параметром, характеризующим степень

неравномерности входящего потока (а также любого распределения случайной величины) является коэффициент вариации, определяющийся следующим образом:

задачах ТМО, как правило, среднее время обслуживания является мат. ожиданием), - параметр эрланговского распределения. Как видно из формулы (2), коэффициент вариации тем выше, чем сильнее значение среднего квадратического отклонения приближено к значению математического ожидания, т.е. значения имеют значительный разброс

последействие полное.

Время обслуживания

Следующая важная характеристика СМО – время обслуживания, т.е. продолжительность обслуживания одной заявки одним аппаратом обслуживания. Время обслуживания может быть различным, что объясняется наличием различий в возможностях аппаратов и условиях работы. Так, например, продолжительность обслуживания состава бригадой ПТОВ будет зависеть не только от количества работников в бригаде, но и от количества вагонов в составе, их технического состояния, погодных условий и т.д. Следовательно, время обслуживания индивидуально для каждого аппарата

обслуживания, а в общем случае – это случайная величина, подчиняющаяся какому-либо закону распределения. На транспорте наиболее широкое распространение получили показательное (работа билетных касс, справочных установок, камер хранения), эрланговское (продолжительность технического осмотра составов, расформирования составов на сортировочной горке, интервалы отправления поездов со станции) и нормальное распределения времени обслуживания заявок.

Работу канала (аппарата) обслуживания характеризует интенсивность обслуживания (μ) – количество заявок, обслуживаемых каналов за единицу

Степень неравномерности времени обслуживания также характеризуется коэффициентом вариации, определяющимся по формуле

(3.2).

6 Одноканальные системы массового обслуживания

Одноканальные СМО являются достаточно распространенными не только в повседневной жизни (врач, обслуживающий пациентов, продавец в магазине), но и на транспорте (техническое обслуживание прибывающих составов одной бригадой ПТОВ, работа сортировочной горки в режиме последовательного роспуска и т.д.). Именно для таких систем получена большая часть аналитических зависимостей, позволяющих достоверно определять параметры СМО.

Решение любой задачи по ТМО начинается с определения основных параметров системы: интенсивность поступления заявок и интенсивности времени обслуживания этих заявок. Затем определяется параметр ρ –

приведенная интенсивность входящего потока= .

,

Данная величина безразмерная, а её физический смысл показывает количество заявок, одновременно находящихся под обслуживанием в СМО. Данную величину важно отличать от загрузки СМО (Ψ) – величины, характеризующей степень занятости всех устройств СМО. Загрузка может меняться в интервале (0;1), в то время как приведенная интенсивность может

где n – число каналов обслуживания. Как видно из формулы, для одноканальной системы массового обслуживания ρ = Ψ, поэтому для одноканальных СМО далее будет использоваться буква ρ. Для одноканальной системы ρ принадлежит интервалу (0;1).

Как уже говорилось ранее, целью решения задач ТМО является определение основных характеристик, определяющих эффективность работы системы. К ним относятся:

1)сист – среднее количество заявок, одновременно находящихся в СМО, т.е. и в очереди, и под обслуживанием, з-к.

2)сист – среднее время нахождения заявки в СМО, т.е. и в очереди, и под обслуживанием, ч.

3)оч - среднее количество заявок, находящихся в очереди, з-к.

4)оч - среднее время нахождения заявки в очереди (время ожидания обслуживания), ч.

Данные величины связаны формулой Литтла: для любой СМО, при любом характере потока заявок, при любом распределении времени обслуживания, при любой дисциплине обслуживания среднее время нахождения заявки в системе равно среднему числу заявок в системе,

деленному на интенсивность потока заявок= 1 .

сист сист,

То же справедливо и для времени= 1 нахождения в очереди:

оч оч,

характеристик. Способы их расчета определяются типом входящего потока, а также распределением времени обслуживания. Основные типы распределений входящего потока заявок: простейший (пуассоновский), эрланговский (k-го порядка), нормальный. Основные типы распределения времени обслуживания: показательное, нормальное, эрланговское (k-го порядка), постоянное. В зависимости от сочетаний этих типов распределения будет изменяться и методика расчета характеристик системы.

1. Пуассоновский (простейший) входящий поток, показательное

распределение времени обслуживания. В систему поступает пуассоновский входящий поток с интенсивностью λ. Требования обслуживаются одним каналом с интенсивностью μ. Время обслуживания распределено по показательному закону. Одним из полезных параметров, позволяющих оценить качество работы СМО, является 0. 0 – вероятность того, что в системе0 =не(1находится+ + 2 +ни одной+ +заявки)−1. = 1 − ,

где k – номер состояния системы. Рассматривая марковские процессы, мы

задавались определенным числом состояний. Однако, рассматривая СМО с неограниченной очередью, количество возможных состояний1 − стремится к бесконечности, следовательно, формула преобразуется ( ). Вероятность

нахождения системы в k состоянии определяется= как

0,

Основные характеристики СМО определяются= следующим образом:

сист 1− ,

оч = 1−2 ,

Время нахождения в системе и ожидания обслуживания можно легко определить по формуле Литтла (6,7).

Пример. В вокзальном помещении находится одна билетная касса. В среднем за 1 час в нее обращается 15 человек, а кассир обслуживает каждого пассажира 3 минуты. Поток пассажиров простейший, время обслуживания распределено по показательному закону. Необходимо определить длину очереди и время ожидания обслуживания.

Решение. Необходимо обратить внимание, что в задаче сразу задана интенсивность поступления

= 1 · 2,25 = 0,15 ч.

оч 15

2. Пуассоновский (простейший) входящий поток, произвольное распределение времени обслуживания. В систему поступает пуассоновский входящий поток с интенсивностью λ. Требования обслуживаются одним каналом с интенсивностью μ. Время обслуживания распределено по произвольному закону. Это означает, что закон распределения времени обслуживания может быть любым: эрланговским, нормальным, постоянным и т.д. При этом оно характеризуется

Стоит обратить внимание, что если распределение времени обслуживания показательное, т.е. об = 1, формула (14) преобразуется в формулу (13). При постоянном распределении времени обслуживания об = 0, соответственно с этим формулу (14) также можно преобразовать.

Пример. На путях сортировочного парка, прикрепленных к вытяжному пути, в среднем за час накапливается 1,5 состава. Закон распределения величины интервала между моментами окончания накопления составов – показательный. Закон распределения времени занятости маневрового локомотива

Решение. В качестве входящего потока выступают моменты окончания накопления составов. Канал

обслуживания – маневровый локомотив. Среднее время занятости маневрового локомотива – это время обслуживания каналом одной заявки, т.е. накопленного поезда. Интенсивность поступления заявок λ = 1,5

сост/ч. Интенсивность обслуживания: 1

= 0,5 = 2 сост/ч

Коэффициент вариации обслуживания определим0,2по формуле (2):

об = ф = 0,5 = 0,4

ф

Приведенная интенсивность:

= 1,52 = 0,75

0,75 (1 + 0,4 )

Простой состава в ожидании формирования2 : 2

оч = 2 · 1,5(1 − 0,75) = 0,87 ч.

По формуле Литтла определим=среднее· число= 0,87составов· 1,5 = ,1,31ожидающихсост. формирования:

оч оч

3. Эрланговский входящий поток, эрланговское распределение времени обслуживания. В систему поступает эрланговский входящий поток с интенсивностью λ и коэффициентом вариации вх. Требования обслуживаются одним каналом с интенсивностью μ и коэффициентом вариации об. Время обслуживания имеет эрланговское распределение. На железнодорожном транспорте чисто случайные потоки (например, простейший) или же регулярные (например, постоянный поток) встречаются не слишком часто. Чаще же приходится иметь дело с потоками с некоторой степенью последействия, такими как эрланговский поток. Определим время

= 34 = 0,75

Коэффициенты вариации заданы по условию. Иногда они задаются в неявном виде: либо через порядок эрланга, либо через среднее квадратическое отклонение: