6 Законы распределения непрерывной случайной величины

Нормальное распределение (закон Гаусса). Как правило, на любую случайную величину действует достаточно большое количество различных факторов, влияющих на неё в равной степени. Такая случайная величина подчиняется нормальному закону распределения. Многие распределения при большом количестве испытаний также можно аппроксимировать до нормального, поэтому его часто называют предельным законом. Нормальным распределением можно описать самые глобальные процессы: уровень жизни людей, уровень интеллекта и др. Из железнодорожной отрасли: число вагонов в обращающихся на участке поездах; погонная нагрузка; число вагонов в группе, поступающих на путь накопления; продолжительность технического обслуживания в парках станции и др. Также нормальное распределение часто используется для описания распределения различных измерительных ошибок. Плотность вероятности

нормального распределения представлен на рисунке 1.7 и имеет характерные черты «колокола».

Рисунок 1.7 – График плотности нормального распределения

Основная масса значений сосредоточена вокруг среднего ( ( )), которое является центром симметрии распределения, а удаленность других значений определяется величиной , т.е. мерой рассеивания. Важную рольздесь играет правило трёх сигм: 99,73% всех(значений); ( )случайной величины располагаются в интервале [-3 + + 3 ]. Значения, расположенные за этими границами, являются маловероятными и скорее

всего будут являться различными ошибками измерений.

Рисунок 1.8 – Правило трех сигм

Во многих задачах, связанных с нормально распределенными случайными величинами, приходится определять вероятность попадания случайной величины на участок от α до β (рис. 4). Сделать это можно следующим образом:

Показательное (экспоненциальное) распределение. Аналогом закона Пуассона для непрерывных случайных величин служит показательный закон распределения. Если пуассоновский закон описывает число событий, произошедших за промежуток времени , то показательный закон описывает распределение интервалов времени между этими событиями. Как правило, показательным законом распределения описывается: интервал времени между требованиями, поступающими в систему, время обслуживания чеголибо, например, бригадой ПТОВ прибывшего состава; интервалы поступления поездов в парки станции; интервалы между обращениями пассажиров в билетные кассы. Функция показательного распределения имеет

рассматривает только неотрицательные величины. Важно заметить, что если

само число событий на каком-то отрезке времени описывается пуассоновским распределением, то интервалы времени между этими событиями будут описываться показательным законом. Внешний вид кривой плотности распределения определяется параметром λ.

Рисунок 1.9 – График плотности показательного распределения

Пример. Распределение интервалов между прибытием поездов на сортировочную станцию подчиняется показательному закону. Среднее число поездов, прибывающих на станцию за 1 час, равняется 4 (λ=4). Определить вероятность того, что интервал между последовательным прибытием поездов будет не более 0.5 ч (t=0.5)

Решение. Для решения задачи удобно воспользоваться функцией распределения, формула (13).

( < 0.5) = 1 − = 1 − = 1 − 0,1353 = 0,8647

Следовательно, вероятность определим следующим образом:

− −4·0.5

Распределение Эрланга. Распределение Эрланга является частным случаем гамма-распределения. Интервалы между поступлениями поездов на сортировочные станции и отправлениями их со станций, длительность расформирования и формирования поездов, осмотра их бригадами ПТОВ описываются не только показательным законом, но и распределением Эрланга. Распределением Эрланга k-го порядка называют поток,

получающийся, если в пуассоновском потоке сохранить каждую k-ю точку (событие), а остальные выбросить (под потоком понимается последовательность событий с плотностью λ). Если сохранить каждую первую точку, то получится исходный пуассоновский поток. Если каждую 2-

ю или 3-ю – распределение Эрланга 2 или 3-го порядка. «Просеивание» представлено на рисунке 1.10.

Рисунок 1.10 – Интервалы времени между событиями пуассоновского потока и потока Эрланга 3-го порядка

Математические преобразования показывают, что чем больше порядок распределения Эрланга k, тем менее случайными становятся интервалы между событиями в нём, т.е. уменьшается разница между средним квадратическим отклонением и математическим ожиданием. Плотность

где k – параметр формы. Нетрудно заметить, что при k=1 функция плотности распределения приобретает вид экспоненциальной функции (1.14). В зависимости от параметра k, плотность распределения Эрланга выглядит следующим образом:

Рисунок 1.11 – График плотности распределения Эрланга

использовано для описания времени выполнения какой-либо задачи, а также времени безотказной работы какого-либо устройства. Вследствие этого,

параметр масштаба.

Рисунок 1.12 – График плотности распределения Вейбулла при различных параметрах формы и параметре масштаба = 1