3 Плотность распределения

Несмотря на то, что функция распределения достаточно полно характеризует случайную величину, по ней трудно судить непосредственно о характере распределения. Наиболее наглядное представление дает функция,

то, как часто появляется случайная величина( ) Х в некоторой окрестности точки х при повторении опытов. Кривая представлена ниже:

Рисунок 1.4 – График плотности распределения

Важно заметить, что по графику плотности распределения нельзя определить вероятность в какой-либо конкретной точке, т.к. ранее говорилось, что вероятность каждого отдельного значения случайной

величина с вероятностью 1 примет какое-то, неважно какое, значение.

4 Числовые характеристики случайной величины

Решая практические задачи, далеко не всегда необходимо иметь исчерпывающее представление о функции распределения случайной величины. Иногда необходимо определить лишь конкретные, необходимые в расчетах характеристики. Такие характеристики, назначение которых – выразить в сжатой форме наиболее существенные особенности распределения называют числовыми характеристиками случайной величины. Важнейшая из таких характеристик – математическое ожидание случайной величины, которое иногда называют просто средним значением

произведений всех возможных значений случайной величины на вероятности этих значений. Однако, раз величина называется «случайной», очевидно, что она может принимать различные значения. Следовательно, информации о среднем значении недостаточно. Важно знать, насколько случайные величины колеблются около среднего значения. Это явление называется рассеиванием. Числовыми характеристиками величины рассеивания случайной величины являются дисперсия и среднее квадратическое

величины – квадрат единицы величины случайной величины. Поэтому обычно используют характеристику, единицы величины которой совпадает с

единицами случайной величины – среднее квадратическое отклонение.

5 Законы распределения дискретной случайной величины

Законом распределения называется функция, полностью описывающая поведение случайной величины с вероятностной точки зрения. Как правило, для его описания используют ряд распределения, функцию распределения либо плотность распределения случайной величины. В зависимости от поставленных задач, можно использовать ту или иную форму представления закона распределения. Закон распределения позволяет достоверно определять числовые характеристики случайных величин, определять вероятность тех или иных событий, решать задачи теории массового обслуживания. Далее будут рассмотрены наиболее распространенные на транспорте законы распределения дискретных и непрерывных случайных величин.

Биномиальное распределение. Пусть случайная величина X

соответствует числу появлений k события A при n независимых испытаниях, проводимых в одинаковых условиях. Вероятность появления события A постоянна и равна p. Тогда вероятность того, что событие А не произойдёт – q = 1 – p. Необходимо определить вероятность того, что случайная величина X примет то или иное значение k. Случайная величина может принимать значения в интервале от 1 до n. Для примера, рассмотрим бросок монеты: вероятность выпадения как орла, так и решки – 0,5. Определить вероятность того, что из 4-х бросков, все 4 раза выпадет решка можно по формуле

ряд распределения задан формулой (9), называют биномиальным. Биномиальным распределением описывается число назначений в прибывших в расформирование на станцию поездах; число поездов, прибывающих на

станцию в определенный( = ) интервал времени и др. Необходимо отметить, что вероятность будет зависить от параметра p – вероятности появления события А. Ряд распределения для различных значений параметра p представлен на рисунке 1.5.

Рисунок 1.5 – Ряд распределения биномиальной случайной величины

Пуассоновское распределение. Пуассоновское распределение

является частным случаем биномиального, когда вероятность достаточно мала. Его также называют распределением редких событий. Случайные величины, описывающиеся пуассоновским распределением, следующие: число поездов, пребывающих с нескольких направлений в парк приема станции, число пассажиров, обращающихся в кассу за билетами и т.д. Как правило, такие случайные величины можно описать как последовательность событий, повторяющихся с определенным интервалом времени, т.е. с какой-

значений параметра а представлен на рисунке 1.6.

Рисунок 1.6 – Ряд распределения пуассоновской случайной величины