4 курс / 1 Дист. м. основные понятия математического моделирования

1 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

1 Понятие моделирования, классификация моделей, формализация технических систем

Моде́ль (в науке) — это объект-заместитель объекта-оригинала, инструмент для познания, который исследователь ставит между собой и объектом и с помощью которого изучает некоторые свойства оригинала. В качестве модели выступает другой материальный или мысленно представляемый объект, замещающий в процессе исследования объекторигинал. Соответствие свойств модели исходному объекту характеризуется адекватностью. Процесс построения и исследования модели называется моделированием.

Математическое моделирование - моделирование реально существующих объектов и явлений – физических, химических, биологических, социальных процессов, живых и неживых систем, инженерных конструкций, конструируемых объектов, технологических процессов, осуществляемое средствами языка математики и логики с помощью компьютера.

Целью моделирования являются получение, обработка, представление и использование информации об объектах, которые взаимодействуют между собой и внешней средой

Модель выступает как средство познания свойств и закономерности поведения объекта.

На рисунке 1.1 приведен один из вариантов классификации моделей.

Рисунок 1.1 – Классификация моделей

Вещественные натурные модели - это реальные объекты, процессы и системы, над которыми выполняются эксперименты: научные, технические и производственные.

Вещественные физические модели - это макеты, муляжи, воспроизводящие физические свойства оригиналов (кинематические, динамические, гидравлические, тепловые, электрические, световые модели).

Вещественные математические - это аналоговые, структурные, геометрические, графические, цифровые и кибернетические модели.

Идеальные наглядные модели - это схемы, карты, чертежи, графики, графы, аналоги, структурные и геометрические модели. Так, например, к данному виду моделей можно отнести схемы железнодорожных станций и других объектов инфраструктуры (рисунок 1.2).

Рисунок 1.2 – Конструктивная схема железнодорожной станции – пример идеальной наглядной модели

Идеальные знаковые модели - это символы, алфавит, языки программирования, упорядоченная запись, топологическая запись, сетевое представление.

Идеальные математические модели – это аналитические,

функциональные, имитационные, комбинированные модели. По принципам построения математические модели разделяют на аналитические и имитационные.

Аналитическая модель разделяется на типы в зависимости от математической проблемы:

1)уравнения (алгебраические, дифференциальные, интегральные);

2)аппроксимационные задачи (интерполяция, экстраполяция, численное интегрирование и дифференцирование);

4)задачи оптимизации;

5)стохастические проблемы.

В имитационном моделировании функционирование объектов,

процессов или систем описывается набором алгоритмов.

Алгоритмы имитируют реальные элементарные явления, составляющие процесс или систему с сохранением их логической структуры и последовательности протекания во времени. В зависимости от характера

исследуемых реальных процессов и систем математические модели могут быть детерминированными и стохастическими.

В детерминированных моделях предполагается отсутствие всяких случайных воздействий, элементы модели (переменные, математические связи) достаточно точно установлены, поведение системы можно точно определить.

При построении детерминированных моделей чаще всего используются алгебраические уравнения, интегральные уравнения, матричная алгебра.

Стохастическая модель учитывает случайный характер процессов в исследуемых объектах и системах, который описывается методами теории вероятности и математической статистики (метод Монте-Карло).

По виду входной информации модели разделяются на:

–непрерывные,

–дискретные.

1)Если информация и параметры являются непрерывными, а математические связи устойчивы, то модель - непрерывная.

2)И наоборот, если информация и параметры - дискретны, а связи неустойчивы, то и математическая модель - дискретная.

3)Если информация и параметры являются непрерывными, а математические связи устойчивы, то модель - непрерывная.

4)И наоборот, если информация и параметры - дискретны, а связи неустойчивы, то и математическая модель - дискретная.

Статические модели описывают поведение объекта, процесса или системы в какой-либо момент времени. Динамические модели отражают поведение объекта, процесса или системы во времени.

Основные принципы построения математических моделей:

1. Принцип простоты: не решай сложную задачу, не решив простую.

2.Принцип А.А. Андронова: без ошибки нет модели, а потому негрубые модели — плохие.

3.Принцип Э. Хемингуэя: можно пренебрегать чем угодно, нужно только точно знать, как это повлияет на результат.

4.Принцип надежности: чем проще модель, тем она реже обманывает.

5.Принцип А.Н. Крылова: точность результатов не может быть выше точности исходных данных; точности промежуточных вычислений должны быть согласованы.

6.Цель расчетов — не числа, а понимание. Прежде чем решать задачу, подумай, что делать с ее решением (законы Р. Хемминга).

7.Принцип Питера. ЭВМ многократно увеличивает некомпетентность вычислителя.

Впрактике моделирования, как правило, выделяются следующие группы математических методов, позволяющих формализовать технические системы:

–аналитические методы (методы классической математики, включая интегрально-дифференциальное исчисление, методы поиска экстремумов функций, методы математического программирования и т.п.);

–статистические методы (теория вероятностей, математическая статистика, теория массового обслуживания, статистических испытаний и другие методы статистического имитационного моделирования);

–графические методы (теория графов, а также графическое представление информации типа диаграмм, гистограмм и т.п.). Графические представления позволяют наглядно отображать структуры сложных объектов

ипроцессов. Обычно такие средства, как графики, диаграммы, гистограммы, древовидные структуры, относят к средствам активизации интуиции человека. Возникшие на основе графических представлений методы позволяют ставить и решать вопросы оптимизации процессов проектирования, эксплуатации, управления.

2 Моделирование и математические методы в управлении перевозками

При решении современных задач управления перевозками требуется учитывать большое число факторов различной природы. В формировании и анализе моделей принятия решения должны участвовать разработчики разной специализации. Процесс в таких условиях превращается в проблему выбора целей, критериев, средств и вариантов достижения целей. Проблема считается формализованной, если удается найти выражение, которое бы связывало цель принятия решения со средствами ее достижения.

Применительно к транспортным объектам эксперимент часто является нереализуемым, и постановка задачи, формирование модели, т.е. перевод словесного описания в формальное, становится важной составной частью процесса принятия решений.

Вбольшинстве реальных ситуаций формальные модели необходимо постоянно корректировать и развивать. При этом возможно изменение не только модели, но и метода моделирования, что часто является средством развития представлений о моделируемой ситуации. Для решения сложных задач применяются методы, базирующиеся на сочетании методов, использующих опыт и интуицию, и методов формализованного представления. К ним относятся имитационное, динамическое, ситуационное, структурно-лингвистическое моделирование.

Впрактике моделирования, как правило, выделяются следующие группы математических методов:

- аналитические методы (методы классической математики, включая интегрально-дифференциальное исчисление, методы поиска экстремумов функций, методы математического программирования и т.п.);

- статистические методы (теория вероятностей, математическая статистика, теория массового обслуживания, статистических испытаний и другие методы статистического имитационного моделирования);

- графические методы (теория графов, а также графическое представление информации типа диаграмм, гистограмм и т.п.).

Графические представления позволяют наглядно отображать структуры сложных объектов и процессов. Обычно такие средства, как графики, диаграммы, гистограммы, древовидные структуры, относят к средствам активизации интуиции человека.

Возникшие на основе графических представлений методы позволяют ставить и решать вопросы оптимизации процессов организации, управления, проектирования.

Доказательство адекватности распределения при применении его для конкретных приложений базируется на понятии выборки. Выборкой называют часть изучаемой совокупности явлений, на основе исследования которой получают статистические закономерности, присущие всей совокупности и распространяемые на нее с какой-то вероятностью.

Для того чтобы полученные при исследовании выборки закономерности можно было распространить на всю совокупность, выборка должна быть представительной (репрезентативной), т.е. обладать определенными качественными и количественными характеристиками.

Качественные характеристики представительности выборки связаны с содержательным аспектом выборки, т.е. — с определением, являются ли элементы, входящие в выборку, элементами исследуемой совокупности и правильно ли отобраны эти элементы с точки зрения цели исследования.

Количественные характеристики представительности выборки связаны с определением объема выборки, достаточного для того, чтобы на основе ее исследования можно было делать выводы о совокупности в целом.