Добавил:
Вуз:
Предмет:
Файл:
КиТГр Экзамен Билеты Расписанные 2025.pdf
X
- •1. Определение бинарного отношения. Свойства бинарных отношений: рефлексивность – определение. Привести пример и контрпример
- •Определение (бинарное отношение)
- •Примеры
- •Рефлексивность
- •Определение (бинарное отношение)
- •Примеры
- •Арефлексивность
- •3. Определение бинарного отношения. Свойства бинарных отношений: симметричность – определение. Привести пример и контрпример
- •Определение (бинарное отношение)
- •Примеры
- •Симметричность
- •4. Определение бинарного отношения. Свойства бинарных отношений: антисимметричность – определение. Привести пример и контрпример
- •Определение (бинарное отношение)
- •Примеры
- •Антисимметричность
- •Определение (бинарное отношение)
- •Примеры
- •Асимметричность
- •6. Определение бинарного отношения. Свойства бинарных отношений: транзитивность –
- •определение. Привести пример и контрпример
- •Определение (бинарное отношение)
- •Примеры
- •Транзитивность
- •7. Определение бинарного отношения. Способы задания бинарных отношений: аналитическое задание. Примеры
- •Определение (бинарное отношение)
- •Аналитическое задание БО
- •8. Определение бинарного отношения. Способы задания бинарных отношений: задание матрицей. Примеры
- •Определение (бинарное отношение)
- •Задание матрицей
- •Свойства
- •Пример
- •9. Определение бинарного отношения. Способы задания бинарных отношений: задание графом. Примеры
- •Определение (бинарное отношение)
- •Задание графом
- •Пример
- •10. Определение бинарного отношения. Типы бинарных отношений: отношение толерантности – определение. Свойство матрицы и графа такого бинарного отношения.
- •Определение (бинарное отношение)
- •Определение (отношение толерантности)
- •Свойства
- •Матрица
- •Граф
- •11. Определение бинарного отношения. Типы бинарных отношений: отношение эквивалентности – определение. Свойство матрицы и графа такого бинарного отношения.
- •Определение (бинарное отношение)
- •Определение (отношение эквивалентности)
- •Свойства
- •Матрица
- •Граф
- •12. Определение бинарного отношения. Типы бинарных отношений: отношение предпорядка (квазипорядка) – определение. Свойство матрицы и графа такого бинарного отношения
- •Определение (бинарное отношение)
- •Определение (отношение предпорядка)
- •Свойства
- •Матрица
- •Граф
- •13. Определение бинарного отношения. Типы бинарных отношений: отношение частного порядка – определение. Свойства матрицы и графа такого бинарного отношения
- •Определение (бинарное отношение)
- •Определение (отношение частного порядка)
- •Свойства
- •Матрица
- •Граф
- •14. Определение бинарного отношения. Типы бинарных отношений: отношение линейного порядка – определение. Свойства матрицы и графа такого бинарного отношения
- •Определение (бинарное отношение)
- •Определение (отношение линейного порядка)
- •Свойства
- •Матрица
- •Граф
- •15. Определение бинарного отношения. Типы бинарных отношений: отношение строгого порядка – определение. Свойства матрицы и графа такого бинарного отношения
- •Определение (бинарное отношение)
- •Определение (отношение строгого порядка)
- •Свойства
- •Матрица
- •Граф
- •16. Определение бинарного отношения. Понятия замыкания относительно свойства – определение. Рефлексивное замыкание.
- •Определение (бинарное отношение)
- •Определение (замыкание относительно свойства)
- •Определение (рефлексивное замыкание)
- •Пример
- •17. Определение бинарного отношения. Понятия замыкания относительно свойства – определение. Симметричное замыкание
- •Определение (бинарное отношение)
- •Определение (замыкание относительно свойства)
- •Определение (Симметричное замыкание)
- •Пример
- •18. Определение бинарного отношения. Понятия замыкания относительно свойства – определение. Транзитивное замыкание.
- •Определение (бинарное отношение)
- •Определение (замыкание относительно свойства)
- •Определение (Транзитивное замыкание)
- •Пример
- •19. Матрица достижимости – определение, связь с транзитивным замыканием
- •Определение (матрица достижимости)
- •Пример
- •20. Применим ли к данному бинарному отношению алгоритм topsort (Топологическая сортировка) ? Если да – примените, если нет – обосновать.
- •Алгоритм (топологическая сортировка)
- •Пример
- •21. Определение графа. Способы задания графа: бинарное отношение. Проиллюстрируйте примерами для неорграфа и орграфа.
- •Определение
- •Неориентированный граф
- •Ориентированный граф
- •22. Определение графа. Способы задания графа: матрица смежности. Проиллюстрируйте примерами для неорграфа и орграфа
- •Определение
- •Определение
- •Неориентированный граф
- •Ориентированный граф
- •23. Определение графа. Способы задания графа: матрица инцидентности. Проиллюстрируйте примерами для неорграфа и орграфа
- •Определение
- •Неориентированный граф
- •Ориентированный граф
- •24. Определение графа. Способы задания графа: список инцидентности. Проиллюстрируйте примерами для неорграфа и орграфа
- •Определение
- •Неориентированный граф
- •Ориентированный граф
- •25. Определение графа. Алгоритм обхода в глубину
- •Определение
- •Алгоритм
- •Пример
- •26. Определение графа. Алгоритм обхода в ширину
- •Определение
- •Алгоритм
- •Пример
- •27. Понятие степени вершины для ориентированного и неориентированного графов
- •Неориентированный граф
- •Ориентированный граф
- •28. Определение пути в графе. Типы путей: открытый, замкнутый. Каждый тип проиллюстрируйте примером
- •Путь
- •Открытый путь
- •Замкнутый путь
- •29. Определение пути в графе. Типы путей: простой путь, цепь, цикл. Каждый тип проиллюстрируйте примером
- •Путь
- •Простой путь
- •Цепь
- •Цикл
- •30. Связность для неориентированного графа – определение. Алгоритм выделения компонент связности в неориентированном графе.
- •Определение
- •Алгоритм
- •Пример
- •Определение (реберная k-связность)
- •Определение (мост)
- •Алгоритм (выделение мостов в неорграфе)
- •Пример
- •32. Связность в ориентированном графе: слабая и сильная связность. Примеры. Алгоритм Косарайю-Шарира
- •Сильная связность
- •Слабая связность
- •Алгоритм
- •Пример
- •33. Граф Герца – определение, свойства. Привести пример графа, для которого граф Герца будет обладать заданным набором характеристик. (что значит второй пункт вопроса???)
- •Определение (граф Герца)
- •Свойства
- •Пример
- •34. Эйлеров цикл – определение. Критерий эйлеровости для орграфа и для неорграфа
- •Эйлеров цикл
- •Критерий Эйлеровости для неориентированных графов
- •Критерий Эйлеровости для ориентированных графов (орграфов)
- •35. Эйлеров граф – определение. Алгоритм Флери
- •Определение
- •Алгоритм (Флери)
- •Пример
- •36. Эйлеров путь – определение. Критерий полуэйлеровости для орграфа и для неорграфа
- •Определение (эйлеров путь)
- •орграф
- •неорграф
- •37. Полуэйлеров граф – определение. Алгоритм на списках инцидентности
- •Определение (полуэйлеров граф)
- •Алгоритм (на списках инцидентности)
- •Пример
- •38. Граф де Брюина – определение. Примеры чзх какой алфавит
- •Пример
- •39. Гамильтонов цикл – определение. Теорема Оре
- •Гамильтонов цикл
- •Теорема Оре
- •40. Полугамильтонов граф – определение. Теорема Дирака
- •Полугамильтонов граф
- •Теорема Дирака
- •41. Гамильтонов путь – определение. Турнир (по доте) – определение, пример.
- •Гамильтонов путь
- •Турнир
- •42. Гамильтонов граф – определение. Теорема Редеи-Камиона.
- •Гамильтонов граф
- •Теорема Редеи-Камиона
- •43. Дерево, лес – определения. Свойства деревьев (минимум 4)
- •Дерево
- •Свойства
- •44. Остовное дерево, остовной лес – определения. Код Прюфера. Восстановите дерево по данном коду Прюфера
- •Определение (остовное дерево)
- •Определение (остовной лес)
- •Алгоритм (код Прюфера)
- •Пример
- •Алгоритм (восстановление по коду Прюфера)
- •Пример
- •45. Главный цикл – определение. Разложите данный замкнутый путь в данном графе в сумму главных циклов.
- •Определение (главный цикл)
- •46. Задача о максимальном потоке в сети – постановка задачи (???). Постройте максимальный поток в данной сети при помощи данного (какого???) алгоритма.
- •Определение (постановка задачи)
- •Алгоритм (Форда-Фалкерсона)
- •47. Как связаны задача о максимальном потоке и минимальный разрез? Проиллюстрируйте примером.
- •Лемма (максимальный поток и минимальный разрез)
- •48. Клика – определение. Приведите пример графа с данной максимальной кликой.
- •Определение (клика)
- •Пример
- •49. Независимое множество – определение. Приведите пример графа с данным максимальным независимым множеством
- •Определение (независимое множество)
- •Определение (максимальное независимое множество)
- •Пример
- •50. Как связаны понятия клики и независимого множества? Приведите пример графа с данными максимальной кликой и независимым множеством или докажите, что это невозможно
- •Определение (клика)
- •Определение (независимое множество)
- •Определение (обратный граф)
- •Связь понятий (клика и независимое множество)
- •51. Плоский граф – определение. Привести примеры: плоского графа, планарного, но не плоского графа, непланарного графа. Обосновать
- •Определение (планарный граф)
- •Определение (плоский граф)
- •Свойства
- •Примеры
- •52. Двудольный граф – определение. Критерий двудольности. Привести пример двудольного графа с заданными характеристиками
- •Определение (двудольный граф)
- •Пример
- •Критерий (двудольный граф)
- •53. Максимальное и наибольшее паросочетание – определения, примеры, иллюстрирующее различие между этими понятиями. Приведите пример с заданными характеристиками.
- •Определение (паросочетание)
- •Определение (максимальное паросочетание)
- •Пример
- •Определение (наибольшее паросочетание)
- •Пример
- •54. Метрические характеристики графа – определения. Приведите пример графа с заданным набором метрических характеристик
- •Определение (расстояние)
- •Определение (эксцентриситет)
- •Определение (диаметр)
- •Определение (радиус)
- •Определение (центр)
- •Определение (периферийная вершина)
- •55. Правильная вершинная раскраска графа – определение. Хроматическое число – определение. Привести пример графа с данным хроматическим числом (и некоторым набором заданных характеристик)
- •Определение (правильная раскраска)
- •Пример
- •Определение (хроматическое число)
- •56. Хроматических многочлен графа – определение. Свойства (не менее 5)
- •Определение (хроматический многочлен)
- •Свойства (леммы?)
- •57. Дан хроматический многочлен графа. Восстановите максимально возможное количество информации о графе
- •Свойства (леммы?)
- •59. Реберно-взвешенный граф – определение. Минимальное остовное дерево – определение. Алгоритм Прима.
- •Реберно-взвешенный граф
- •Минимальное остовное дерево
- •Алгоритм
- •Пример
- •60. Реберно-взвешенный граф – определение. Минимальное остовное дерево – определение. Алгоритм Краскаля
- •Реберно-взвешенный граф
- •Минимальное остовное дерево
- •Алгоритм
- •Пример
- •61. Сколько минимальных остовных деревьев существует в данном графе? Ответ обосновать
- •62. Кратчайший путь в реберно-взвешенном графе – определение. Критерий корректности задачи о нахождении кратчайшего пути.
- •Кратчайший путь в реберно-взвешенном графе
- •Критерий
- •63. Алгоритм Дийкстры – постановка задачи (???), описание, пример.
- •Алгоритм
- •64. Алгоритм Форда-Беллмана – постановка задачи (???), описание, пример.
- •65. Алгоритм Джорджа Флойда – постановка задачи (???), описание, пример.
- •Алгоритм (Флойда)
- •66. Алгоритм Джонсона – постановка задачи (???), описание, пример.
- •Алгоритм (Джонсона)
- •67. Вопросы типа “приведите пример с указанными параметрами”
- •68. Вопросы типа “решение стандартной задачи из рассматривавшихся в курсе”
- •Вторая часть экзамена (устная)
- •1. Простые числа. Решето Эратосфена. Метод пробных делителей и метод Ферма
- •Определение простого числа
- •Определение решето Эратосфена
- •Метод пробных делителей
- •Метод Ферма (rich birds) хахахахах
Исходная точка имеет 
.
Отсюда получаем, что мостами являются ребра 
32. Связность в ориентированном графе: слабая и сильная связность. Примеры. Алгоритм Косарайю-Шарира
Сильная связность
Ориентированный граф называется сильно-связным, если в нём существует
(ориентированный) путь из любой вершины в любую другую. В этом случае граф содержит ровно одну сильно связную компоненту.
Слабая связность
Ориентированный граф называется слабо-связным, если он является связным неориентированным графом, полученным из него заменой ориентированных рёбер неориентированными. То есть тупо меняем ориентированный граф на неориентированный и если
он связный, то ориентированный граф - слабо связный
Алгоритм
1. Выполнить поиск в глубину (DFS), пока не будут «помечены» все вершины. Вершина считается «помеченной», когда ей присвоено время выхода из рекурсии
2. Инвертировать исходный граф
3. Выполнить DFS в порядке убывания пометок вершин.
Пример
Дан граф
Выполняем обход в глубину и запишем время выхода из рекурсии