Векторные пространства и их простейшие свойства

Вектор - элемент векторного пространства.

Скаляр - элемент поля, над которым задано векторное пространство.

Векторное пространство(1)

Векторное (линейное) пространство – алгебраическая структура ( , , +, ∙) где -

поле, ( , +)- группа, операция «+» коммутативна, операция умножения на скаляр «∙» ассоциативна, дистрибутивна относительно операции сложения как векторов, так и скаляров, операция умножения на единицу поля унитарна.

Чаще всего в роли выступает либо , либо .

Операции «+» и «∙» в векторном пространстве называются линейными операциями.

Векторное пространство(2)

Формализация: ( , , +, ∙) тогда и только тогда, когда ( , +) ,

где 1 - нейтральный элемент по умножению поля .

Примеры: множество многочленов с коэффициентами из поля , множество матриц с элементами из поля , множество геометрических векторов пространства над полем .

Важный частный случай – арифметическое векторное пространство над полем: = ×1( ) . Именно к нему будем сводить все конечномерные пространства (размерность пространства будет рассмотрена на следующей лекции).

Простейшие свойства векторных пространств

1.​ 0 ∙ = 0 2.​ α ∙ 0 = 0

3.​ + = 0 = (− 1) = −

4.​