Теория ебанная

1.​ Алгебраические структуры и основные свойства бинарных операций.

Алгебраическая структура - непустое множество (носитель) с заданным на нём сигнатурой (набором операций и отношений).

Формализация: ( , Σ), где ≠ Ø - некоторое множество, Σ - набор заданных на А операций и отношений.

Назначение: выделение в каком-то смысле «хороших» свойств операций, из которых можно вывести требуемые свойства, что позволит не проверять их для нового множества. Для него проверяются только выполнение «хороших» свойств прямо или косвенно.

Обычно возникает как обобщение свойств операций некоторого множества, например, поле как обобщение свойств сложения и умножения дробей или векторное пространство как обобщение свойств сложения и умножения на число геометрических векторов.

Основные бинарные операции.

Замкнутость бинарная операция на множестве А - бинарная операция, результат которой принадлежит А.

Замечание: обычно операции на множестве задаются уже замкнутыми, однако обратные к ним замкнуты не всегда, например − и ÷ на N, 2 на R.

Ассоциативная бинарная операция на множестве – бинарная операция « », для которой верно утверждение , , ( * ) * = * ( * )

Ассоциативная бинарная операция на множестве – бинарная операция « », для которой верно утверждение 1 * 2 * ... * , если при этом не теряется смысл

выражения.

Примеры ассоциативных операций: « » на множестве преобразований фиксированного множества, «+», «∙» на множествах чисел, многочленов одной переменной, матриц фиксированного размера; «+» на множестве геометрических векторов пространства.

Пример неассоциативной операции: «×» на множестве векторов пространства.

Нейтральный элемент относительно операции « » - элемент множества , на котором задана операция « », для которого верно утверждение

* = * = .

2 = 1 · 2 = 1 !! (противоречие)!! 1 ≠ 2 , ч.т.д.​

Обратный элемент к относительно операции « » элемент ' множества , для которого верно утверждение ' = ' = , где - нейтральный элемент относительно операции « ».

Формализация: , = , где - некоторое множество, на котором задана коммутативная операция « ».

Из коммутативности операции не следует ее ассоциативность, например операция вычисления среднего арифметического двух рациональных чисел. !!ДОКАЗАТЕЛЬСТВО!!

В случае отсутствия коммутативности у бинарной операции две обратные, например, обратные к возведению в натуральную степень – извлечение корня и логарифмирование.

Дистрибутивность (слева, справа) бинарная операция « » относительно операции « » на множестве - бинарные операции, для которых верны утверждения

( ) = ( ) ( ) ( ) = ( ) ( )

соответственно.

Дистрибутивность позволяет раскрывать скобки, и выносить за скобки общий множитель.

2.​ Понятия группы и кольца, простейшие свойства колец, понятие поля

Группа - алгебраическая структура ( , ), где « » - замкнута и ассоциативна, содержит нейтральный элемент и каждый элемент обратим

невырожденных квадратных матриц по операции умножения, множество геометрических векторов пространства по операции сложения.

Замечание: иногда операция опускается, если понятно, о какой группе идет речь. Например, если пишут - группа, то имеется в виду операция сложения, а не умножения.

В зависимости от свойств операции «∙» кольца выделяют кольца с единицей, коммутативные кольца и т.д. Виды колец и специфические свойства каждого из них не рассматриваются в данном курсе.

Примеры: , множества многочленов и квадратных матриц фиксированного размера.

Поле - алгебраическая структура ( , +, ∙), где ( , +) и ( , ∙) - группы, операции «+» и «∙» коммутативны и справедлив дистрибутивный закон «∙» относительно «+».