11.Алгоритм диагонализации матрицы линейного оператора
Пусть А - линейный оператор ● Найти характеристический многочлен оператора А
● Найти собственные значения оператора А, которыми являются корни характеристического многочлена
● Найти собственные вектора для каждого собственного значения
● Составить матрицу B из собственных векторов, где каждый столбец соответствует собственному вектору
● Найти обратную матрицу −1 ● Найти матрицу линейного оператора в новом базисе по формуле:
' = −1 · ·
В результате выполнения этих шагов, матрица линейного оператора А будет приведена к диагональному виду D, а матрица перехода B позволит перейти от исходного базиса к базису, в котором оператор А имеет диагональную матрицу.
12. Алгоритм решения матричного квадратного уравнения
Матричное квадратное уравнение: 2 + =
Простейшее |
МКУ: |
|
2 |
|
|
|
, где |
|
|
|
– |
||||
|
+ = (λ ; 1, ) |
= (µ ; 1, ) |
|||||||||||||
неизвестна, а все |
λ |
– |
|
|
|
||||||||||
|
известны и различны |
|
|
|
|
|
|||||||||
● |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Диагонализировать правую часть МКУ с помощью собственных чисел и векторов. |
|
|||||||||||||
● Получаем МКУ, где правая часть – диагональная матрица, а в левой X меняем на Y (согласно простейшему МКУ)
● Берем Y как некие диагональные матрицы с тремя неизвестными элементами на главной диагонали.
● Подставляем в полученное ранее простейшее МКУ
● Считаем чему равен каждый неизвестный элемент Y
● Чтобы найти X подставляем Y в формулу: = → · · →, где → – просто матрица собственных векторов, а → – обратная ей
13. Алгоритм нахождения матрицы сопряженного оператора
● Записываем матрицу линейного оператора |
|
|
|
|
||||||||||
● Записываем базис, в котором дан |
линейный оператор (например f). Это будет матрица |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
перехода |
С |
→, е - стандартный базис |
|
|
|
|
|||||||
● Ищем |
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|||
● |
|
|
обратную матрицу |
С → = → |
|
базисе |
по формуле: |
|||||||
Ищем |
|
|
|
|
|
|
в стандартном |
|||||||
|
матрицу линейного оператора |
|
|
|
||||||||||
|
= С→ · · С→ |
|
|
|
|
|
|
|||||||
● По формуле * |
|
|
находим матрицу сопряженного оператора в базисе е |
формуле: |
||||||||||
|
|
|||||||||||||
● |
И |
находим |
матрицу |
сопряженного |
оператора в базисе f |
по |
||||||||
|
|
|
|
= |
|
|||||||||
|
* = |
С→ · * · С→ |
|
|
|
|
|
|
||||||
14.Метод Лагранжа приведения КФ к каноническому виду
Метод Лагранжа приведения КФ к каноническому виду – алгоритм приведения КФ к каноническому виду, состоящий в последовательном выделении полных квадратов и, при необходимости, вспомогательных замен для получения слагаемых, содержащих квадрат одной переменной.
Канонический вид: |
|
, |
|
∑ , ; |
|
|
, =1 |
|
15.Алгоритм решения ОЛДУ
Это алгоритм решения обычных дифф. уравнений из Мат Анализа. Однородное – значит справа ноль
Решением ОЛДУ – го порядка является линейная комбинация экспонент вида λ в том случае, когда корни характ-кого полинома – различны (кратных в АиГ нет) Пример и разбор одновременно:
16. Алгоритм решения нормальной системы ЛДУ
Далее следует решение способом выше (???) https://sdo2.irgups.ru/pluginfile.php/22442/mod_resource/content/1/Банина-Системы-дифф
-уравнений.pdf
17.Диагонализация в случае различных собственных чисел.
Шаг 1. Решить уравнение | − λ| = 0 (рез-т: ( )). Шаг 2. Для каждого элемента λ ( ) найти ( − λ )(ядро).
Шаг 3. Составить базис из собственных векторов, найденных на шаге 2. Шаг 4. Составить диагонализованную матрицу по правилу: если λ соответствует в
базисе из собственных векторов, то λ расположено в диагонализириванной матрице в i-ой строке и i-м столбце.