Количество |
|
различных решений простейшего МКУ равно |
2 = |
|
|
, где |
|
- |
||
|
|
|
|
∏ |
|
|
||||
количество различных корней уравнения µ2 + |
µ |
= λ . |
|
= |
1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||||
Диагональность неизвестной матрицы при решении общего МКУ
Любое МКУ (в том смысле, как оно было определено на предыдущем слайде) может быть сведено к простейшему МКУ путем диагонализации правой части МКУ и умножения МКУ на матрицы перехода, связанные с базисом из собственных векторов правой части МКУ.
Пусть |
|
- диагонализованная правая часть МКУ, |
тогда |
|
= |
|
→ |
· |
· |
→ |
, где |
|
- |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
базис , в котором задана матрица |
|
(обычно |
- стандартный базис |
|
) и, положив |
|||||||||||||||
= → · · → |
, |
имеем |
· |
|
|
|
|
λ = |
λ |
|
|
, откуда |
||||||||
|
|
|
= · и [ , ] · |
|
· [ , ] |
|
|
|
||||||||||||
и следует, что Y -диагональная матрица.
После решения данной системы решения исходного уравнения ищутся для каждой найденной матрицы как = → · · →
Унитарные операторы, критерий унитарного оператора
Унитарные операторы - (оператор изометрии) – линейный оператор |
|
унитарного |
|||||||||
пространства |
|
|
сохраняющий |
скалярное |
произведение, |
т.е. |
|||||
|
|
|
|
|
|||||||
, |
|
( ( ), |
( )) |
= ( , |
) |
|
|
|
|
|
|
Критерий унитарности оператора: линейный оператор является унитарным оператором тогда и только тогда, когда он сохраняет расстояние между любыми двумя векторами унитарного пространства.
Таким образом, унитарные операторы являются обобщением движений плоскости и трехмерного пространства на случай произвольной размерности.
Невырожденность и спектр унитарного оператора
•Унитарный оператор невырожден (т.е. обратим).
•Модуль каждого собственного числа унитарного оператора равен единице.
•Собственные векторы унитарного оператора, отвечающие различным собственным числам, ортогональны.
•Если ≤ – инвариантно относительно унитарного оператора, заданного над , то
- тоже инвариантно относительно данного оператора.