( (λ)) (λ)

Линейная независимость векторов, принадлежащих различным СП

Собственные векторы, отвечающие двум различным собственным числам являются ЛНЗ

!!!Доказательство!!!

Характеристический полином матрицы и его свойства

непосредственным вычислением определителя в символьном виде, но и при помощи интерполяционной формулы Лагранжа, которая потребует вычисление определителя

( ), 1, в численном виде.

Геометрическая кратность собственного числа, ее оценка сверху и снизу

Геометрическая кратность собственного числа – размерность собственного подпространства, отвечающего этому собственному числу и обозначаемая как (λ),

т.е. (λ) = (λ)

Геометрическая кратность собственного числа больше 0 и не превосходит его

Два определения диагонализуемого линейного оператора, их эквивалентность

●​ Диагонализуемый линейный оператор – линейный оператор , заданный на пространстве , в котором найдется базис такой, что матрица оператора в базисе– диагональна.

●​ Диагонализуемый линейный оператор – линейный оператор , заданный на пространстве , в котором найдется базис из собственных векторов оператора .

●​ Оба определения диагонализуемого линейного оператора эквивалентны.

●​ Достаточное условие диагонализуемости линейного оператора: если все числа характеристического полинома матрицы линейного оператора различны, то такой оператор диагонализуем, обратное утверждение, в общем случае, неверно.

Теорема о разложении в прямую сумму СП

Теорема о разложении в прямую сумму собственных подпространств: если линейный оператор диагонализуем, то

где {λ , 1, } = ( )

Критерий диагонализуемости линейного оператора

Критерий диагонализуемости: линейный оператор диагонализуем тогда и только тогда, когда равны алгебраическая и геометрическая кратности каждого из собственных чисел. В противном случае ЛНЗ собственных векторов недостаточно для построения базиса пространства, на котором задан оператор .

Подобие матриц, совпадение спектров подобных матриц

Подобные матрицы - квадратные матрицы и , обозначаемые , для которых

Замечание: нужно различать матрицы, полученные друг из друга элементарными преобразованиями, от подобия матриц в смысле, описанном выше. Это не одно и то же, хоть и обозначается одним и тем же знаком «~»!

Характеристические многочлены подобных матриц совпадают. Следовательно, спектры подобных матриц совпадают.

Простейшее матричное квадратное уравнение (МКУ), количество его решений

- неизвестна и все λ - известны и различны.

Простейшее МКУ представляет собой матричную запись системы квадратных уравнений, каждое из которых содержит одну неизвестную и любые два из этих уравнений содержат различные неизвестные.