Алгоритмы
1. Алгоритм быстрого возведения в степень
Ассоциативность умножения используется для быстрого возведения в степень:
2 = ( 2) ,2 +1 = ( 2) · .
Количество операций умножения прямо пропорционально log2 вместо − 1
умножений при возведении в степень по определению степени.
!!! Наверное, нужно доказать ассоциативность степени!!!
2. Алгоритм нахождения базиса пространства строк матрицы
● Привести матрицу A к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований строк.
● Выделить все ненулевые строки ступенчатой матрицы в новую матрицу B.
● Построить матрицу C из всех строк, которые не являются линейной комбинацией строк матрицы B.
● Если матрица C не пуста, то повторить шаги 1-3 для матрицы C. ● Базисом пространства строк матрицы A является матрица B.
3. Алгоритм нахождения базиса пространства решений ОСЛУ
Дана какая-то ОСЛУ
● Строим матрицу коэффициентов
● Гауссим по максимальному
● Получаем ЛНЗ строки
● Транспонируем их – это наши вектора базиса Пример:
4. Алгоритм вычисления матрицы перехода
Даны 2 базиса и . - стандартный базис.
● Записываем базисные вектора по столбцам, это – матрица С→ перехода из в
● Записываем базисные вектора по столбцам, это – матрица →перехода из в
● Ищем обратную матрицу |
|
→, это будет матрицей |
|
→ |
перехода из |
|
в |
|
||||||
● |
|
|
|
|
→ |
, |
|
|
|
|
||||
Умножаем |
матрицу |
→ |
на матрицу |
|
полученная матрица будет матрицей |
|||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
→ перехода из в .
● −1→ = →
●
5. Алгоритм Грама-Шмидта Алгоритм ортогонализации системы векторов
‾, в котором по этой системе строится система ортогональных
= ( , 1, )
векторов ( ; 1, ) согласно формуле:
|
|
|
|
|
− 1 |
ν( |
|
, |
|
) |
|
|
|
|
|
||||||
|
= |
· ( |
− ∑ |
ν( |
|
, |
|
) |
||
|
|
|
|
|
= 1 |
|
|
|
|
|
· ) , *
Величина |
ν( |
|
, |
|
|
) |
|
|
|
называется векторной ортогональной проекцией вектора |
|
на |
|
|
. |
|
· |
|
|
||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||
|
ν( , ) |
|
|
|
||||||||||||
6. Алгоритм нахождения базиса ортогонального дополнения
● Найти базис векторного пространства V.
● Найти векторы, ортогональные каждому из векторов базиса V.
● Составить из найденных векторов базис ортогонального дополнения.
7. Алгоритм нахождения матрицы линейного оператора
● Задать базис векторов пространства. Обычно это делается выбором обычного базиса, то есть набора векторов, состоящего из всех единичных базисных векторов.
● Задать линейный оператор через матрицу преобразования над этим базисом.
● Создать матрицу, в которой каждый столбец – это образ одного из базисных векторов при действии линейного оператора.
● Эту матрицу можно использовать как матрицу самого линейного оператора: умножение на эту матрицу – это действие линейного оператора.
8. Алгоритм нахождения ядра линейного оператора
● Вычисляем матрицу оператора A.
● Решаем уравнение Av = 0, где v - вектор ядра.
● Находим базис ядра путем решения системы линейных уравнений, где в качестве правой части ставим нулевой вектор.
9. Алгоритм нахождения образа линейного оператора
● Записываем матрицу линейного оператора в стандартном базисе.
● Умножить матрицу на столбец координат вектора из исходного пространства.
● Полученный столбец является координатами вектора из образа линейного оператора.
10. Алгоритм нахождения спектра линейного оператора
● Найти характеристический многочлен оператора A: ( − λ )
● Найти корни характеристического многочлена, которые и будут собственными значениями оператора А
● Определить кратность каждого собственного значения оператора А