Следствие: ( ( )) = − и ( ( )) =

Отсюда следует теорема о связи размерности пространства, ядра и образа линейного отображения:

​ Инвариантные подпространства, их простейшие свойства

Инвариантное подпространство относительно линейного оператора – подпространствопространства , на котором действует оператор такое, что образы векторов из , полученные под действием , принадлежат , т.е. ≤ ( ) , где ( )

означает, что ( ) Для любого оператора инвариантным всегда являются два пространства – всё

пространство и нулевое пространство.

Ядро и образ линейного оператора являются инвариантными подпространствами. Сумма и пересечение инвариантных подпространств также являются инвариантными

подпространствами.

Если пространство , на котором действует линейный оператор, может быть разложено в прямую сумму двух инвариантных подпространств, то найдется базис , в котором матрица этого оператора – блочно-диагональная.

Разложение в прямую сумму инвариантных подпространств

Спектр линейного оператора, собственные подпространства (СП)

Спектр линейного оператора – множество элементов поля, над которым задано пространство , обозначаемое ( ), для каждого элемента λ которого найдется

\{0} такой, что ( ) = λ , где - собственный вектор, отвечающий собственному числу λ.

Формализация: ( ) = {λ | \{0} ( ) = λ }

Геометрический смысл собственных векторов: под действием оператора собственный вектор переходит в коллинеарный ему вектор, причем коэффициент растяжения (сжатия) равен собственному числу соответствующему этому собственному вектору.

Собственное подпространство

Собственное подпространство, отвечающее собственному числу λ оператора – множество всех собственных векторов, отвечающих λ, дополненное нулевым вектором, обозначаемое как (λ).

Формализация: (λ) = { | ( ) = λ }(λ) ≤ , где ( )

(λ) = ( − λ · ), где = ( )