Ортогональное дополнение подпространства (ОД)
Ортогональное дополнение подпространства |
|
|
до пространства – множество |
||||||||||||||||||||||||||||||
векторов пространства |
|
|
|
, |
обозначаемое |
|
, |
каждый из которых ортогонален любому из |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
≤ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
векторов |
подпространства . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Формализация: |
|
= |
{ |
| |
|
( , |
) = |
0} |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Свойства ортогонального дополнения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Пусть |
|
≤ |
, тогда: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
● |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
● |
≤ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
● |
∩ |
|
|
= |
{0} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
, |
то |
||||||||
|
Если |
|
|
|
( , |
|
|
|
|
|
|
1, ) |
|
|
|
( , |
1, ) |
|
|
||||||||||||||
= { |
, |
|
|
+ |
1, } |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
● |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Второе свойство может использоваться для доказательства того, что матрица Грама базиса имеет ненулевой определитель.
ОД подпространства как часть ортогонального базиса пространства
→ → →
Пусть в пространстве заданы 3 попарно ортогональных вектора ( , , ) с началом
→
координат в точке , то ОД для вектора будет являться плоскость, содержащая радиус
→ →
векторы и , остальные векторы по аналогии, формально запись выглядит так:
→→ →
{ } = ( , )
Разложение пространства в прямую сумму подпространства и ОД к нему
Ортогональное дополнение линейного подпространства в евклидовом подпространстве является линейным подпространством в , причем = , при этом + = . Так как любой вектор, принадлежащий пересечению
∩ ортогонален самому себе (т.к любой вектор из ортогонален любому вектору из), то по аксиоме скалярного умножения вектор ортогональный самому себе является
нулевым вектором, следовательно ∩ = {0}, следовательно это пересечение является прямой суммой.
Линейные отображения и способы их задания
Линейное отображение – отображение, которое удовлетворяет свойству линейности:
(α + β ) = α · ( ) + β · ( )
Множество всех линейных отображений с областями отправления и
прибытия будем обозначать как ( , )
Если = , то ( , ) называется линейным оператором; будем записывать
( , ) как ( ).
Способы задания: словесный, формульный, матричный.
Теорема о задании линейного отображения: любое линейное отображение из V однозначно задается значениями на базисных векторах фиксированного базиса пространства V. !!!ДОКАЗАТЕЛЬСТВО!!!
Матрица линейного оператора, ее применение для вычисления значения
Матрица линейного оператора при замене базиса
Изоморфизм линейных операторов и матриц соответствующего размера
Замена действий над операторами действиями над их матрицами
Что?
Ядро линейного оператора, свойства ядра
Ядро линейного отображения векторных пространств – множество векторов области отправления отображения , переходящих под действием в нулевой вектор и обозначаемое как ( ).
Фактически, ядро является множеством нулей функции
Формализация: ( ) = { | ( ) = 0}
Свойства:
Пусть ( , ), тогда:
( ) ≤( , ) ( ) = {0} (критерий инъективности линейного отображения).
Замечание: при доказательстве критерия инъективности используется равенство
(0) = 0
Образ линейного оператора, свойства образа
Образ линейного отображения векторных пространств – множество векторов области прибытия отображения , которые могут быть получены под действием и обозначаемое
( ).
Фактически, образ является множеством значений функции
Формализация: ( ) = { | ( ) = }
Свойства:
Пусть ( , ), тогда:
( ) ≤
(критерий биективности линейного отображения).
Связь размерностей ядра, образа и пространства, на котором задан оператор
Пусть |
( , ), |
= |
( ) и |
тогда: |
||||
( ) |
|
= { |
| · |
|
= |
0} |
|
|
( ) |
= { [ , ], |
1, |
} |
|
|
|||