большого количества различных множеств с операциями, удовлетворяющих аксиомам векторного пространства.
Следствие (формула для линейных операций в координатах):
= α + β [ ] = α · [ ] + β · [ ] !!ДОКАЗАТЕЛЬСТВО!!
Матрица перехода, ее невырожденность и формула перехода
Понятия замены базиса и матрицы перехода |
= ( , |
1, ) - означает |
Переход от базиса = ( , 1, ) к базису |
выражение координат вектора в базисе через координаты в базисе .
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Матрица |
перехода от |
|
базиса |
|
= ( , |
|
1, ) к базису |
= (j, |
- |
1, ) |
|
- |
||||||||||||||||||||||
матрица |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
, j -ый столбец которой представляет собой координаты |
|
|
го вектора |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
в базисе |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
базиса × |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Формализация: → |
( ): →[ , ] |
= |
[ |
] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
Свойства матрицы перехода |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
!! |
1. |
(→) ≠ 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО!! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(формула |
перехода |
от |
базиса |
|
|
к |
|
базису |
|
) |
||||||||||
!! |
[ ] |
= → · [ ] |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО!! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
!! |
3. |
→ |
· → = → |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО!! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
!! |
4. |
→ |
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
= → |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО!! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
5. |
→ |
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
= → → |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
!!ДОКАЗАТЕЛЬСТВО!!
6. Замечание: свойства 4 и 5 – следствия из свойства 3, а свойство 3 доказывается при помощи утверждения если = при любом векторе , то =
.!!ДОКАЗАТЕЛЬСТВО!!