Биективные отображения алгебраических структур |
|
|
|||||||||
Инъективная функция (инъекция) |
- функция |
|
, для которой |
||||||||
выполняется свойство |
|
|
|
|
|
|
( , ) |
|
|||
Сюръективное |
|
, ≠ ( ) ≠ ( ). |
( , ) |
, для которого |
|||||||
|
|
отображение (сюръекция) - отображение |
|||||||||
выполняется свойство |
|
= ( ) |
. |
|
|
||||||
Критерий |
|
|
|
сюръективно тогда и только тогда, |
|||||||
|
сюръекции: отображение |
( , ) |
|||||||||
когда его множество значений |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
совпадает с его областью прибытия . |
|
|||||
Биективное отображение |
(взаимно-однозначное) отображение или биекция - |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
отображение, одновременно инъективно и сюръективно.
Координатный изоморфизм векторных пространств
Понятие изоморфизма векторных пространств
Изоморфизм векторных пространств – биективное линейное отображение, области отправления и прибытия которого являются векторными пространствами.
Говорят, что пространства и изоморфны и пишут тогда и только тогда , когда существует хотя бы один изоморфизм с областями отправления и прибытия .
Замечание: в силу биективности отображения области отправления и прибытия в определении изоморфных векторных пространств можно менять местами.
|
Формализация: |
|
тогда и только тогда, когда существует хотя бы одна биекция |
|
|
( , ) |
такая, что |
||
|
|
|
||
Координатный изоморфизм |
|
|
|
= |
|
|
||
Теорема |
о координатном изоморфизме: |
|
||||||
!!ДОКАЗАТЕЛЬСТВО!! |
|
|
|
|||||
Явный |
вид |
координатного |
изоморфизма: |
( ) |
= [ ] , |
где |
||
= ( , 1, )
Координатный изоморфизм дает возможность ограничится исследованием только арифметических векторных пространств разной размерности вместо достаточно