комбинации |
ЛНЗ |
системы, |
элементы |
которой |
имеют |
вид |
!!ДОКАЗАТЕЛЬСТВО!!
Если ранг системы меньше, чем количество элементов в ней, то она ЛЗ, в силу определений ранга и базиса. !!ДОКАЗАТЕЛЬСТВО!!
Если добавление вектора в систему не изменило ее ранга, то добавленный вектор линейно выражается через остальные векторы системы. !!ДОКАЗАТЕЛЬСТВО!!
Система образующих и базис векторного пространства, координаты вектора
Система образующих векторного пространства - упорядоченная система векторов
|
|
|
|
|
этого пространства, его порождающая, т.е |
|
|
|
|
|
|
|
|
( , 1, ) |
|
|
|
||||||||||
|
= ∑ . |
||||||||||||
Базис векторного пространства - максимальная ЛНЗ |
система |
образующих этого |
|||||||||||
|
|
=1 |
|||||||||||
векторного пространства. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Простейшие свойства базиса: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
● Координаты вектора в базисе единственны |
|
!!ДОКАЗАТЕЛЬСТВО!! |
|||||||||||
● Любые два базиса линейно эквивалентно, поэтому количество элементов во всех базисах одинаково
Координаты вектора - эээ пися попа в лекциях нет этого !!ДОКАЗАТЕЛЬСТВО!!
Размерность векторного пространства и его свойства
Говорят, что векторное пространство имеет размерность и пишут = тогда и только тогда, когда одновременно выполняются следующие утверждения: в пространстве
1. имеется хотя бы одна система из ЛНЗ векторов 2. любая система из + 1 векторов ЛЗ
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
По определению: |
{0} = 0 |
. |
|
|
|
|
|
|
|||
Размерность |
|
|
|
|
|
|
|
!!ДОКАЗАТЕЛЬСТВО!! |
|||
|
равна количеству векторов в базисе. |
|
|
||||||||
Если в пространстве размерности |
|
дана система |
|
ЛНЗ векторов, то она является |
|||||||
базисом. |
|
|
|
|
|
|
!! |
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО!! |
|||
|
|
|
|
||||||||