- •Базовые термины (готово)
- •Алгоритмы
- •11.Алгоритм диагонализации матрицы линейного оператора
- •14.Метод Лагранжа приведения КФ к каноническому виду
- •15.Алгоритм решения ОЛДУ
- •Сноски
- •Теория ебанная
- •Основные бинарные операции.
- •Простейшие свойства колец:
- •Наследуемость свойств при переходе к подмножеству
- •Категорий подструктуры
- •Векторные пространства и их простейшие свойства
- •Векторное пространство(1)
- •Векторное пространство(2)
- •Простейшие свойства векторных пространств
- •Подпространства векторного пространства, критерий подпространства
- •ГДЕ БЛЯТЬ Подпространства векторного пространства????
- •Линейная оболочка, натянутая на векторы, её свойства
- •Свойства:
- •Линейная зависимость (ЛЗ) и независимость, простейшие свойства ЛЗ векторов
- •Линейно независимая (ЛНЗ) система векторов – множество векторов, из элементов которого можно образовать только тривиальные линейные комбинации.
- •Линейно зависимая система векторов - множество векторов, из элементов которого можно образовать хотя бы одну нетривиальную линейную комбинацию.
- •Простейшие свойства линейной зависимости
- •Признак ЛЗ по количеству векторов
- •Следствия:
- •Линейная эквивалентность и элементарные преобразования системы векторов
- •Элементарные преобразования системы векторов
- •Базис и ранг конечной системы векторов, свойства ранга
- •Свойства ранга конечной системы векторов
- •Система образующих и базис векторного пространства, координаты вектора
- •Размерность векторного пространства и его свойства
- •Биективные отображения алгебраических структур
- •Координатный изоморфизм векторных пространств
- •Понятие изоморфизма векторных пространств
- •Координатный изоморфизм
- •Матрица перехода, ее невырожденность и формула перехода
- •Понятия замены базиса и матрицы перехода
- •Свойства матрицы перехода
- •Матрица перехода, формула для произведения матриц перехода и ее следствия
- •Вычисление матрицы перехода:
- •Сумма и пересечение подпространств как векторые подпространства
- •Формула Грассмана
- •Прямая сумма подпространств, критерий прямой суммы
- •Прямая сумма подпространств и ее критерий
- •Скалярное произведение и его простейшие свойства
- •Простейшие свойства скалярного произведения
- •Неравенство Коши-Буняковского
- •Норма вектора, евклидова норма
- •Матрица Грама базиса, ее невырожденность
- •Матрица Грама базиса, координатная формула для скалярного произведения
- •Матрица Грама при смене базиса
- •Угол между векторами, критерий ортогональности двух ненулевых векторов
- •Система ортогональных векторов, ее линейная независимость
- •Теорема Шмидта
- •Ортогональное дополнение подпространства (ОД)
- •Свойства ортогонального дополнения
- •ОД подпространства как часть ортогонального базиса пространства
- •Разложение пространства в прямую сумму подпространства и ОД к нему
- •Линейные отображения и способы их задания
- •Матрица линейного оператора при замене базиса
- •Изоморфизм линейных операторов и матриц соответствующего размера
- •Свойства:
- •Свойства:
- •Разложение в прямую сумму инвариантных подпространств
- •Спектр линейного оператора, собственные подпространства (СП)
- •Собственное подпространство
- •Линейная независимость векторов, принадлежащих различным СП
- •Характеристический полином матрицы и его свойства
- •Характеристический полином матрицы
- •Свойства
- •Геометрическая кратность собственного числа, ее оценка сверху и снизу
- •Два определения диагонализуемого линейного оператора, их эквивалентность
- •Теорема о разложении в прямую сумму СП
- •Критерий диагонализуемости линейного оператора
- •Подобие матриц, совпадение спектров подобных матриц
- •Простейшее матричное квадратное уравнение (МКУ), количество его решений
- •Диагональность неизвестной матрицы при решении общего МКУ
- •Унитарные операторы, критерий унитарного оператора
- •Невырожденность и спектр унитарного оператора
- •Матрица унитарного оператора в ортонормированном базисе
- •Свойства:
- •Теорема Шаля о классификации плоских движений
- •Теорема Шаля о классификации плоских движений
- •Каноническая форма ортогонального оператора
- •Сопряженные операторы, их свойства
- •Самосопряженные операторы, их свойства
- •Задачи
Элементарные преобразования системы векторов
1) Перестановка местами двух векторов системы; 2) Умножение какого-нибудь вектора системы на отличный от нуля скаляр;
3) Прибавление к одному из векторов системы другого вектора этого системы, умноженного на скаляр;
4) Исключение из системы или введение в систему нулевого вектора.
Причем преобразования первых трех типов называются неособенными, а четвертого типа – особенными.
•Если одна система векторов получается из другой в результате цепочки элементарных преобразований, то эти две системы линейно эквивалентны (см. определение линейной оболочки).
!!ДОКАЗАТЕЛЬСТВО!!
Базис и ранг конечной системы векторов, свойства ранга
1. |
Базис конечной системы векторов |
|
|
– любая ЛНЗ система векторов |
|
|
. |
|
||||
2. |
Базис существует у любой |
конечной системы векторов, поскольку из любой |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
системы можно исключить вектора, которые делают ее ЛЗ. |
|
|
|
|
|
|
||||||
!!ДОКАЗАТЕЛЬСТВО!! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
Ранг конечной системы векторов |
|
– количество векторов в базисе системы . |
|||||||||
4. |
|
определен корректно, поскольку в двух любых |
||||||||||
Ранг конечной системы векторов |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
различных базисах одинаковое количество векторов. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
!!ДОКАЗАТЕЛЬСТВО!! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. |
Замечание: ранг системы строк фиксированной матрицы – ранг матрицы по |
|||||||||||
строкам.
Свойства ранга конечной системы векторов |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Ранг системы векторов, |
элементы |
который |
принадлежит |
|
|
|
|
|
не |
|||||
{ , |
1, } |
|||||||||||||
превосходит ранга системы |
|
|
|
|
|
, следовательно, |
ранги |
линейно |
||||||
= ( |
, |
1, ) |
||||||||||||
эквивалентных систем равны. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
!!ДОКАЗАТЕЛЬСТВО!!
Ранг системы векторов арифметического векторного пространства не превосходит его размерности , поскольку любой элемент из представляется в виде линейной