Система ЛЗ тогда и только тогда, когда найдется вектор системы, линейно выражаемый через остальные векторы системы. !!ДОКАЗАТЕЛЬСТВО!!
|
Простейшие свойства линейной зависимости |
|
|
|
|
||||||||||
|
Если система содержит |
|
, то она ЛЗ |
|
|
!!ДОКАЗАТЕЛЬСТВО!! |
|||||||||
|
|
||||||||||||||
|
Если подсистема ЛЗ, то |
вся система тоже ЛЗ |
|
|
!!ДОКАЗАТЕЛЬСТВО!! |
||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Если добавление вектора к ЛНЗ системе делает ее ЛЗ, то добавленный вектор |
||||||||||||||
однозначно выражается через векторы исходной системы. |
|
|
|||||||||||||
!!ДОКАЗАТЕЛЬСТВО!! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Признак ЛЗ по количеству векторов |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Система из |
|
векторного из |
|
|
|
|
|
|
всегда ЛЗ |
|
|
|||
|
|
{ , |
1, } |
|
|||||||||||
!! |
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО!! |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
+ 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Следствия:
1. Система из > векторов из { , 1, } всегда ЛЗ.
!!ДОКАЗАТЕЛЬСТВО!!
2. Если система векторов некоторой линейной оболочки ЛНЗ, то количество элементов в ней не превосходит количества элементов множества, на векторы которого натянута эта линейная оболочка. !!ДОКАЗАТЕЛЬСТВО!!
Линейная эквивалентность и элементарные преобразования системы векторов
Линейно эквивалентные системы векторов – упорядоченные множества
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
векторов = ( , 1, ) и = ( , 1, ) |
, обозначаемые как , |
||||||||
всякий вектор одного из которых линейно выражается (т.е. представляется в виде линейной комбинации) через векторы другого.
Формализация: { , 1, } = { , 1, }
Если линейно эквивалентные системы являются ЛНЗ, то количество элементов в них одинаковое (см. второе следствие признака ЛЗ по количеству векторов). !!ДОКАЗАТЕЛЬСТВО!!