Товарищи, пользуемся формулами! Верхняя панель – Вставка – Формула.
Для удобства советую пользоваться LaTeX сокращениями через обратный slash “ \ “,
полный список доступных сокращений: https://equation-shortcuts.notuom.com/
***вместо \bar советую использовать \overline
***вместо “ * ” используйте \cdot
***весь текст 12 кегль, формулы – 14 кегль!
Базовые термины (готово)
1. Группа – алгебраическая структура ( , ), где операция “ ” – замкнута и ассоциативна,содержит нейтральный элемент и каждый элемент обратим.
Формализация: ( , *) тогда и только тогда, когда
, ( * ), , ( * ) * = * ( * )
* = * =' ' * = * ' =
2. Поле – алгебраическая структура |
( , +, ·) |
, где |
( , +) |
и |
( |
|
, ·) |
( |
|
означает множество |
||||
элементов без нулевого |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
элемента) – группы, операции “ |
|
” и “ ” коммутативны и |
||||||||||
|
дистрибутивный закон “ ” относительно “ |
”. |
|
|
+ |
|
|
· |
||||||
справедлив |
тогда· |
и только тогда+, когда |
|
|
||||||||||
Формализация: ( , +,,∙) |
|
|
|
|
||||||||||
( , |
+), ( , ∙) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Векторное (линейное) пространство – алгебраическая структура ( , , +, ·), где – поле, ( , +) – группа, операция “+” коммутативна, операция умножения на скаляр “·” ассоциативна, дистрибутивна относительно операции сложения как векторов, так и скаляров; операция умножения на единицу поля унитарна. Формализация: ( , , +, ∙) тогда и только тогда, когда ( , +) ,
4. Линейно независимая (ЛНЗ) система векторов – множество векторов, из элементов которого можно образовать только тривиальные(1) линейные комбинации.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Формализация: пусть |
= ( , |
1, ), |
, тогда |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
|
, - множество |
|
= 0 |
( |
1, ; = 0)), |
( , ) |
|||||||||||||||
( , ) ( ∑ |
|
|
|||||||||||||||||
линейно |
независимых систем из n элементов, |
каждый |
из которых |
принадлежит |
|||||||||||||||
= 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
5. Линейно зависимая (ЛЗ) система векторов – множество векторов, из элементов которого можно образовать хотя бы одну нетривиальную(2) линейную комбинацию.
Формализация: пусть = ( , 1, ), , тогда
|
|
|
|
|
|
|||
|
( , ) (( |
|
1, |
≠ 0) |
∑ |
|
= |
0) |
|
|
|
|
|
=1 |
|||
6. Система образующих векторного пространства – упорядоченная система векторов
( , 1, ) этого пространства, его порождающая, т.е.
‾ |
‾ |
|
‾ |
|
|
: = ∑ |
|
||
|
|
=1 |
|
|
Формализация: ( , , ) - система образующих пространства V тогда и только тогда,
когда = { , 1, }.
7. Базис векторного пространства – максимальная ЛНЗ система образующих этого векторного пространства. Количество базисных векторов равно мерности пространства Свойство: упорядоченность, единственность Формализация:
8. Изоморфизм векторных пространств – биективное линейное отображение, области отправления и прибытия которого являются векторными пространствами.
Грубо говоря: это когда при отображении ( ( , )) из одного пространства сохраняются его свойства линейности (см правую часть формализации)
Формализация: тогда и только тогда, когда существует хотя бы одна биекция
( , ) такая, что
9. Матрица перехода от базиса = ( , 1, ) к базису = ( , 1, ) – матрица
× , -ый столбец которой представляет собой координаты -го вектора базиса в базисе .
Грубо говоря: матрица перехода от базиса к базису — это квадратная матрица порядка, равного мерности пространства, где по столбцам записаны координаты вектора нового базиса в старом базисе. хуета бесполезная, это надо в башке представить просто
|
|
|
|
|
Формализация: → |
( ): →[ , ] |
= [ ] |
||
10.Прямая сумма подпространств и пространства – сумма подпространств, в которой каждый элемент единственным образом представляется в виде суммы вида
+ , где , , обозначаемая как .
Грубо говоря: сумма подпространств линейного пространства называется прямой суммой, если подпространства не пересекаются. т.е. существует единственное разложение на члены.
11.Скалярное произведение – отображение ν ( 2, ), линейности по первому аргументу, эрмитовой сопряженности(3), положительной определенности и невырожденности (равно нулю только при нулевом аргументе), т.е. для любых
α, β , , , .
ν(α + β , ) = α · ν( , ) + β · ν( , ),
ν( , ) = ν( , ),
ν( , ) > 0 ≠ 0,
ν(0, 0) = 0.
12.Норма вектора – невырожденное положительно определенное абсолютно однородное
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
отображение на множестве векторов векторного пространства, обозначаемое |
|| || |
, для |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
которого справедливо неравенство треугольника: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|| + || ≤ || || + || || |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Норма вектора – его длина, которая |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
определяется как квадратный корень из квадратов |
||||||||||||||||||||||||||||
его компонент (координат) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
13.Матрица |
|
Грама в базисе |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
– |
квадратная матрица размера |
|
|
|
|
|
, |
||||||||||||||||||
|
= ( , 1, ) |
×- |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
элемент |
|
-ой строки и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
-го столбца которой является скалярным произведением |
|
го |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
базисного вектора на -й базисный вектор базиса |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Формализация: ( ) [ , ] |
= ( |
|
, |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ν |
|
|
|||||||||||||||
14.Угол между |
векторами |
|
|
|
|
|
|
|
|
относительно скалярного произведения |
|
в |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
это выражение вида: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
евклидовом пространстве – , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, = ( |
|
|
ν( , ) |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|| ||ν·|| ||ν
15.Матрица |
линейного |
отображения |
векторных |
пространств: |
|
,( ) |
× ( ): |
,( )[·, ] = [ ( |
)] , |
где . |
|
Грубо говоря, если M – матрица линейного отображения f между двумя пространствами V и W, то для любого вектора x из V, образующего базис e в V, образующего базис u в W из соответствующего ему вектора y=f(x),то выполняется матричное уравнение Mx=y
16.Ядро линейного отображение векторных пространств – множество векторов области отправления отображения , переходящих под действием в нулевой вектор и обозначаемое как ( ). Это такие вектора, что Mx=0 (или f(x)=0 ???)
Формализация: ( ) = { | ( ) = 0}.
17.Образ линейного отображения векторных пространств – множество векторов области прибытия отображения , которые могут быть получены под действием и обозначаемое ( )
Формализация: ( ) = { | : ( ) = }.
18.Спектр линейного оператора – множество элементов поля, над которым задано пространство , обозначаемое ( ), для каждого элемента λ которого найдётся
≠? {0} такой, что ( ) = λ, где - собственный вектор, отвечающий собственному числу λ .
19.Геометрическая кратность собственного числа – размерность собственного подпространства, соответствующего данному собственному числу и обозначаемое как
(λ).
20.Диагонализируемый линейный оператор – линейный оператор , заданный на пространстве , в котором найдется базис такой, что матрица оператора в базисе - диагональная.
21.Унитарный |
оператор(оператор |
изометрии) |
– линейный |
оператор |
|
унитарного |
|||||||||||||||
пространства |
|
, |
|
сохраняющий |
скалярное |
произведение |
т.е. |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
ν( ( ), ( )) |
= ν( , ) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Унитарный оператор сохраняет норму вектора |
|
|
|
|
, |
||||||||||||||||
22.Самосопряженный |
оператор – |
линейный оператор унитарного пространства |
|||||||||||||||||||
совпадающий со своим сопряженным, т.е. =
23.Квадратичная форма (КФ) с вещественными коэффициентами - однородный многочлен
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
второй степени, т.е |
= ( , 1, ) |
( ) = |
, |
. |
|||||||
|
|
∑ , ; |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, =1 |
|
|
24.Эквивалентные КФ – КФ, одна из которых может быть получена из другой невырожденной заменой переменных. (т.е замена базиса, в котором задана матрица КФ)
25.Линейный дифференциальный оператор – выражение ( ) = ∑ ( ) · ( ), где правая
=0
часть – линейное дифференциальное уравнение (ЛДУ)