Базовые термины

1.​ Равенство множеств A = B​

2.​ Строгое и нестрогое подмножества и соответственно множества ​

3.​ Объединение множеств​

4.​ Пересечение множеств​

5.​ Разность множеств​

6.​ Функция – правило соответствия между множествами отправления и прибытия такое, что для каждого элемента области отправления есть элемент области прибытия притом только один

7.​ Область определения – это множество элементов области отправления, для которых

( , ) = { ( , ): ! : = ( )}

10.​Преобразование множества – любое отображение множества в себя.

11.​Алгебраической операцией на множестве X называется соответствие, при котором каждой паре элементов из множества X сопоставляется единственный элемент того же множества.

12.​Ассоциативность — свойство бинарной операции, заключающееся в возможности осуществлять последовательное применение формулы ( ◦ ) ◦ = ◦ ( ◦ ) в произвольном порядке к элементам x,y,z.

13.​В математике бинарная операция является коммутативной, если изменение порядка операндов не изменяет результат.

14.​Дистрибутивность одной бинарной операции “◦” относительно другой операции выражает распределительный закон, подобный арифметическому соотношению

( + ) · = · + ·

15.​Обратные операции — это такие операции, в которых объект и результат меняются местами.

16.​Многочлен – сумма одночленов. ( ) = ∑ : , ≠ 0

=0

17.​Значением многочлена в точке называется число, получающееся при подстановке в выражение вместо символа числа (и выполнения соответствующих арифметических операций).

18.​Делимость нацело многочленов ( )| ( ) ( ) [ ] ( ) = ( ) · ( )

19.​Множество общих делителей многочлена ​

, где “ | ” читается как “ делит нацело ”

20.​Наибольший общий делитель ​

, где ( ) – старший

коэф

21.​Корнем многочлена ( ) называют такое значение , при котором многочлен обращается в нуль.

22.​Кратный корень многочлена – это корень, алгебраическая кратность которого больше одного. 0( ( )) > 1.

23.​Алгебраическая форма комплексного числа: = + , где = ( ) - вещественная часть, = ( ) - мнимая часть.

24.​Сопряжение комплексного числа: + = − , где + и − называются взаимно сопряженными числами.

25.​Операция f, стабильная относительно операции “ * ” на множестве А – унарная операция f, для которой справедливо свойство , ( * ) = ( ) * ( ).

26.​Модулем комплексного числа называется длина радиус-вектора соответствующей

точки комплексной плоскости. = 2 + 2, где 2 - вещественная часть, а 2 - мнимая.

29.​Тригонометрическая форма компл. числа: = | | · ( φ + · φ), где φ =

30.​Унитарный (приведенный) многочлен – многочлен, старший коэффициент которого равен 1.

31.​Неприводимый многочлен – многочлен, который нельзя разложить в произведение многочленов, степень которых была бы отличной от 0 и от степени разлагаемого многочлена.

32.​Матрицаотображение из декартового произведения отрезков натурального ряда во множество, на котором определена данная матрица

=1

умножения матрицы – Умножение матриц возможно если количество столбцов первой матрицы равно количеству строк второй

35.​Матрица стандартного вида – матрица, в каждой строке которой, начиная со второй, ведущий элемент (первый ненулевой элемент строки) расположен строго правее, чем ведущие элементы всех строк, расположенных выше данной, матрица из одной строки всегда является матрицей ст. вида. (???это любая верхнетреугольная матрица???)

(тривиальная лин. комб. – это когда сумма строк равна нулю при всех коэф =0, нетривиальная – это когда сумма строк равна нулю при коэф. не равных 0)

37.​Линейная зависимость строк матрицы означает, что хотя бы 1 строка матрицы является линейной комбинацией остальных.

38.​Система строк называется линейно независимой (ЛНЗ), если только тривиальная линейная комбинация равна нулевой строке (не существует их нетривиальной линейной комбинации, равной нулевой строке).

39.​Ранг матрицы по строкам – количество ЛНЗ строк этой матрицы.

40.​Ранг матрицы по столбцам – количество ЛНЗ столбцов этой матрицы.

41.​Полилинейная функция - ( , ), линейная по каждому из аргументов, те:

42.​Кососимметричная функция – это функция, которая при перемене различных аргументов местами знак функции меняется. (..., ,..., ,...) =− (..., ,... ,...)

43.​Аксиоматическое определение определителя.​ Определитель матрицы - нормированное, кососимметричное, полилинейное

отображение строк квадратной матрицы в данное множество, обозначаемое det или | |.

44.​Конструктивное определение определителя​

45.​Минор заданного порядка матрицы.​ Минор порядка матрицы – определитель матрицы, образованной из элементов

матрицы , которые стоят на пересечении выбранных строк и столбцов матрицы ,

обозначенный ( , 1, )×( , 1, )( )

46.​Дополнительный минор элемента матрицы.​ Дополнительный минор элемента -ой строки и -го столбца квадратной матрицы –

определитель матрицы, полученной из исключением всех элементов -ой строки и

-го столбца и обозначаемый как ( )

,

47.​Верхнетреугольная матрица – матрица, элементы ниже главной диагонали которой равны 0.

48.​Нижнетреугольная матрица – матрица, элементы выше главной диагонали которой равны 0.

49.​Невырожденная матрица - квадратная матрица, определитель которой отличен от нуля.

50.​Блочно-верхнетреугольная матрица

51.​Блочно-нижнетреугольная матрица

(не уверен в этом, так определения не давали) 52.​Блочно-диагональная матрица (скорее всего это)​

54.​Минорный ранг матрицы – число, равное наибольшему из возможных порядков

58.​Фундаментальная система решений (ФСР) ОСЛУ – это набор решений ОСЛУ,

62.​Простейшая дробь – дробь , где – неприводимый многочлен в какой-то степени

(?) и <

63.​Вектор пространства — направленный отрезок прямой, то есть отрезок, для которого указано, какая из его граничных точек является началом, а какая — концом.

64.​Коллинеарные векторы – векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых.

65.​Компланарные векторы – векторы, которые лежат в одной плоскости или параллельны одной плоскости.

66.​Стандартные декартовы координаты​ Это прямолинейная система координат с перпендикулярными осями на плоскости или в пространстве (?)

67.​Правая тройка в СДК.​ Правая тройка ненулевых векторов – тройка векторов , , , взаимное расположение

которых в пространстве подчиняется правилу правой руки: если указательный палец

направить вдоль , средний - вдоль , то большой укажет в каком полупространстве

должен быть (порядок векторов важен!).

68.​Скалярное произведение векторов · = | | · | | · cos( , )

72.​Векторное произведение​

73.​Смешанное произведение – это результат векторного произведения векторов и ,

умноженный скалярно на вектор , обозначаемый ( , , ), т.е. ( , , ) = ( × ) ·

74.​Направляющий вектор прямой – ненулевой вектор, параллельный или лежащий на данной прямой

75.​Направляющие векторы плоскости – это параллельные или лежащие в этой плоскости вектора

76.​Нормаль к плоскости – это вектор, перпендикулярной к этой плоскости

77.​Движение (изометрия) пространства – это любое отображение : → , сохраняющее расстояние, т.е.:​

, где ρ( , ) – это расстояние между и

78.​Параллельный перенос на плоскости (сдвиг) – это частный случай движения, при котором все точки пространства перемещаются в одном направлении на одинаковое расстояние (любой сдвиг – это движение(?))

79.​Плоский поворот относительно точки – Поворот плоскости Г на угол вокруг точки p (Если поворот на угол 180 градусов, то это симметрия относительно точки p)

80.​Симметрия относительно оси координат на плоскости – Преобразование пространства, при котором каждая точка пространства отображается на точку, симметричную ей относительно плоскости α. Плоскость α называется плоскостью симметрии. Симметрия относительно плоскости α обозначается Sα.

Точка m′ пространства, не лежащая на плоскости α, называется симметричной точке М относительно плоскости α, если отрезок ММ′ перпендикулярен этой плоскости и делится ею пополам. Любая точка плоскости α считается симметричной самой себе относительно этой плоскости

81.​.

82.​ Эллипс - геометрическое место точек, сумма расстояний от каждой из которых до фокусов есть величина постоянная (и равная длине большой оси эллипса).

83.​Гипербола – это геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых абсолютная величина разности расстояний до двух фиксированных точек той же

84.​Парабола — геометрическое место точек на плоскости, равноудаленных от данной прямой (называемой директрисой параболы) и данной точки (называемой фокусом параболы).

Алгоритмы

1.​ Алгоритм деления с остатком многочленов (“деление уголком”)​

(?)​

в основном использует лемму о понижении степени

2.​ Расширенный алгоритм Евклида для многочленов – это алгоритм, вычисляющий НОД и его линейное представление (Лин. предст. – ( , ) = · + · ; , [ ])​+1, – аргументы НОД 0 = ; 1 = ​

​

где = ( ) следует из “обычного” алгоритма Эвклида

+1

3.​ Алгоритм вычисления значения многочлена в точке (табличная форма схемы Горнера)​ Схема Горнера уменьшает кол-во умножений при вычислении значения мн-на в точке:​

( 0) = ((... ( 0 + −1) 0 ...+ 2) 0 + 1) 0 + 0​

Основывается на теореме о делимости с остатком. Для 4-ой степени до 3-ей:​

​

(в конспекте есть еще связь коэфов мн-нов ( ) и ( ), хз надо ли это вообще)​ Либо тупо рассказать про таблицу (дефолтный способ)

4.​ Алгоритм представления многочлена в виде суммы степеней линейного двучлена​ Основывается на лемме о разложении многочлена по степеням двучлена:​

Алгоритм схож с тем, который используется в табличной форме схемы Горнера:​ Пример для 4 ( = 4) степени:​

,где − 0( ( )) = 0​ Итог: ( ) = ( − 0)(( − 0)(( − 0) · ( ) + ( 0)) + ( 0)) + ( 0)

5.​ Алгоритм нахождения многочлена по его значениям (интерполяционная формула Лагранжа)