45. Степенные ряды. Радиус сходимости, почленное дифференцирование и интегрирование.
∞
Степенные ряды - ряды вида ∑ ( − ) (1), ( , - фиксированы, x - переменная; т.е.:
=0 0 0
( ) = ( − 0) )
Теорема 1 (Абель)
|
|
|
|
|
: ряд сходится при |
| − |
| < |
|
|
|
| − |
| > |
|
||||
1) ( |
|
ряда (1)) |
0 |
|
и расходится при |
0 |
|
(не |
|||||||||
|
исключаются случаи |
= 0 |
и |
=+ ∞ |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
= lim |
| +1 |
| |
|
|
|
= |
lim |
| | |
|
|
|
|||||
2) |
|
|
|
| |
|
|, если этот предел существует, или |
|
1 |
(всегда) |
|
|
||||||
|
|
|
→∞ |
| |
|
| |
|
|
|
|
|
|
→0 |
|
|
|
|
Теорема 2
В условиях теоремы 1 ( < ) сходимость ряда (1) при | − 0| ≤ равномерна.
Теорема 3
Радиус сходимости степенного ряда не меняется при почленном дифференцировании или
интегрировании.
Заметка?
Степенной ряд можно почленно интегрировать и дифференцировать сколько угодно раз.
Замечание
Теоремы 1 и 2 верны и для , , 0 , но: на C множество { : | − 0| < } - это открытый
круг радиуса R.
46. Ряды Тейлора для элементарных функций и их области сходимости.
|
|
|
= |
∑ |
1 |
• |
, т. к. |
|
= |
∑ |
1 |
• |
|
+ ( ), где ( ) = |
|
|
• |
+1 (остаточный |
1. |
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
θ |
|
||||
|
|
|
|
=0 |
|
|
|
|
|
=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
член в формуле Лагранжа)
θ (0; 1) θ ≤ | | ( ) ( ) →∞ → 0 Соответственно, = ∞
|
| |
|
| |
|
1/ ! |
|
|
( = lim |
| |
+1 |
| = |
lim |
1/( +1)! |
= |
lim ( + 1) = ∞) |
→∞ |
| |
|
| |
→∞ |
|
|
→∞ |
2. |
|
|
2 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
cos = 1 − |
|
+ |
|
|
+ |
|
|
|
+... = ∑ |
(−1) |
|
|
|
|
||||||||
|
2! |
4! |
|
|
6! |
|
|
(2 )! |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
(−1) |
|
|
2 |
=0 |
|
|
(cos ) |
(2 +2) |
|
(2 +2) |
|||||
|
Остаточный член для |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
− это |
|
|
|
• |
→∞ → 0 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(2 )! |
|
|
(2 +2)! |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3. |
|
|
∞ |
|
|
|
|
2 +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
sin = |
∑ |
(−1) |
|
|
|
|
|
|
|
− аналогично ( = ∞) |
|||||||||||
|
(2 +1)! |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
=0 |
|
|
|
|
|
|
|
∑ −...; = 1 |
|
|||||||||||
|
1−1 = 1 |
+ + 2 +... = |
|
|||||||||||||||||||
4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
=0 |
|
∞ |
|
+1 |
|
|
|
||
5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
(−1) |
|
|
|||||
|
ln(1 + ) = − |
|
|
+ |
|
− |
|
+... = |
∑ |
|
|
|
|
|||||||||
|
2 |
|
3 |
4 |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
Т.к. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+1 |
|
=1 |
|
|
|
|
+1 |
||
|
|
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
( ) = |
(ln(1+ )) |
|
|
| =θ • |
|
|
, где (ln(1 + )) = |
||||||||||||||
|
|
( +1)! |
|
|
|
|
||||||||||||||||
(−1) |
• |
1 |
+1 |
| |
1 |
+1 |
| |
( +1)! |
(1+ ) |
|
и | |
(1+θ ) |
|
| ≤ |
|
|
|
|
|
| |
|
|
| |
При | | < 1 и θ (0; 1) = 1
Замечание
∞
1 − 12 + 13 − 14 +... = ∑
=1
6. (1 + )α = 1 + α +
(−1) |
+1 |
|
|
|
|
∞ |
(−1) |
+1 |
|
|
|
|
|
= ln 2, т. к. |
∑ |
|
| =1 = ln(1 + 1) |
||||||||
|
|
|
|
|||||||||
α(α−1) |
|
2 |
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
∞ |
α(α−1)...(α− +1) |
|
|
|||||||
2! |
|
|
+... = |
∑ |
|
|
! |
|
|
− аналогично ln(1 + ) |
||
=0
|
= − |
3 + |
5 −... = |
∑ |
(−1)2 +1 2 +1 |
|
||||||
7. |
|
|
|
3 |
|
|
5 |
|
∞ |
|
|
- результат почленного интегрирования |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1 |
|
2 |
|
|
4 |
6 |
=0 |
|
|
|
|
|
= 1 − |
|
+ |
|
− +... |
|
|
|
|
|||
|
1+ 2 |
|
|
|
|
|
− это =± 1 |
|||||
|
= |
1 ↔ остаточный член для ( )' на |
||||||||||