Добавил:
Вуз:
Предмет:
Файл:
МатАн II Экзамен Теория.pdf
X
- •Теоретические вопросы (БЕЗ ДОКАЗАТЕЛЬСТВ или по желанию)
- •1. Интегрирование рациональных дробей
- •Утверждение:
- •2. Подстановка Эйлера (для квадратичных иррациональностей)
- •Теорема (Чебышев)
- •3. Определенный интеграл (Интеграл Римана, интеграл Лебега, интеграл Стилтьеса)
- •Определение “в стиле Коши”:
- •Определение “ в стиле Гейне”:
- •Утверждение 1
- •Утверждение 2
- •Замечание
- •Утверждение 3 (линейность)
- •Утверждение 4
- •Теорема 1 (необходимое условие интегрирования)
- •Теорема 2 (аддитивность)
- •Замечание
- •Дополнение к основному определению интеграла
- •4. Суммы Дарбу (в т.ч. подразбиения и наложения).
- •Определение
- •Определение 1
- •Определение 2
- •Утверждение 1
- •Утверждение 2
- •Определение 3
- •Утверждение 3
- •Утверждение 4
- •5. Интегралы Дарбу (критерий интегрируемости по Риману, аддитивность).
- •Определение
- •Утверждение 1
- •Теорема 1
- •Теорема 2
- •Теорема 3 (Критерий Дарбу интегрируемости по Риману)
- •Теорема 4 (аддитивность интегралов Дарбу)
- •6. Достаточные условия интегрируемости. Множества меры ноль и критерий Лебега.
- •Обозначение
- •Замечание
- •Утверждение
- •Теорема 1
- •Следствие
- •Теорема 2
- •Теорема (Критерий Лебега)
- •7. Свойства определённого интеграла, связанные с неравенствами. Теоремы о среднем.
- •Утверждение 1
- •Утверждение 2
- •Теорема 1
- •Теорема 2 (о среднем)
- •Теорема 3 (о среднем)
- •8. Интеграл с переменным верхним пределом. Теорема Барроу.
- •Теорема 1
- •Теорема 2 (Барроу)
- •Теорема 1 (формула Ньютона-Лейбница)
- •Теорема 2 (Ньютон, Лейбниц)
- •10. Интегрирование по частям и замена переменной в определённом интеграле. Дифференцирование интеграла с переменными пределами.
- •Утверждение 1 (замена переменной)
- •Утверждение 2 (интегрирование по частям)
- •Теорема
- •11. Свойства интегралов от четных, нечетных и периодических функций.
- •Утверждение 1
- •Утверждение 2
- •Утверждение 3
- •12. Площадь плоской фигуры (подграфик, параметрически заданная граница, в полярных координатах).
- •Утверждение
- •Определение
- •Определение
- •Определение
- •Теорема 1
- •Теорема 2
- •13. Определение длины кривой и ее вычисление (для графика, параметрически заданной и в полярных координатах).
- •Определение
- •Замечание
- •Теорема 1
- •Теорема 2 (вычисление для графиков)
- •Теорема 3 (вычисление для параметрически заданной)
- •Теорема 4 (вычисление для полярных координат)
- •14. Вычисление объема тела вращения (два способа) и его площади поверхности.
- •Утверждение 1
- •Утверждение 2
- •Утверждение 3
- •15. Несобственные интегралы 1-го и 2-го рода. Признаки сравнения, абсолютная и условная сходимость.
- •Определение
- •Утверждение 1
- •Утверждение 2
- •Утверждение 3 (1-й признак сравнения)
- •Утверждение 4 (2-й признак сравнения)
- •Замечание 1
- •Замечание 2
- •Замечание 3
- •Определение
- •Утверждение
- •Определение
- •16. Гамма-функция и её свойства.
- •Определение
- •Свойство 1:
- •Свойство 2: (ОСНОВНОЕ)
- •Доказательство:
- •Свойство 3:
- •Доказательство:
- •Замечание:
- •Свойство 4:
- •Свойство 5:
- •Доказательство:
- •Замечание:
- •Свойства 6:
- •Доказательство:
- •Замечание:
- •17. Нормы векторов, их эквивалентность. Операторные нормы матриц.
- •Определение (норма)
- •Теорема (эквивалентность)
- •Определение (Операторная норма)
- •Утверждение (мультипликативное свойство операторных норм)
- •18. Сходимость последовательности векторов. Критерий Коши и принцип компактности.
- •Определение
- •Утверждение
- •Определение (фундаментальность)
- •Теорема 1 (Критерий Коши)
- •Теорема 2 (принцип компактности)
- •19. Открытые и замкнутые множества в конечномерном пространстве.
- •Определение (окрестность) (нужно ли?)
- •Определение (внутренняя точка)
- •Определение (открытое мн-во)
- •20. Предел и непрерывность функции нескольких переменных. Теоремы Кантора и Вейерштрасса.
- •Определение
- •Определение 1 (предел по Коши)
- •Определение 2 (предел по Гейне)
- •Утверждение
- •Определение
- •Теорема 1 (Вейерштрасса)
- •Определение
- •21. Частные производные и дифференцируемость функции нескольких переменных.
- •Определение (частная производная)
- •Определение (дифференцируемость)
- •Замечание
- •Утверждение 1
- •Теорема
- •22. Матрица Якоби. Теорема о сложной функции. Полная производная.
- •Определение
- •Утверждение
- •Теорема 1 (о сложной функции)
- •Замечание (относительно обозначения)
- •23. Теоремы о неявной и обратной функции.
- •Теорема 1 (о неявной функции)
- •Теорема 2 (о неявной функции)
- •Теорема 3 ( об обратной функции)
- •24. Производная по направлению и градиент.
- •Замечание
- •Обозначение:
- •Определение 2 (градиент функции)
- •Замечание
- •25. Касательные и нормали к поверхности и к кривой.
- •2. Параметрическое задание поверхности
- •3. Касательная к кривой
- •4. Общие уравнения кривой
- •26. Дифференциальные уравнения 1-го порядка. Задача Коши, уравнения с разделяющимися производными.
- •Терминология
- •ДУ с разделяющимися переменными
- •Задача Коши для ДУ 1-го порядка
- •Теорема (Пикар)
- •Замечание 1
- •Замечание 2
- •Замечание 3
- •27. Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка и уравнения Бернулли.
- •Решение ДУ методом вариации произвольной постоянной
- •Решение ДУ методом Бернулли
- •ДУ Бернулли
- •Способ 1: сведение к линейному ДУ
- •Способ 2
- •28. Системы дифференциальных уравнений 1-го порядка. Дифференциальные уравнения высших порядков.
- •Определение
- •Теорема (Пикар)
- •Следствие
- •Определение
- •29. Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков, структура общего решения.
- •Определение
- •Теорема 1
- •Теорема 2
- •30. Преобразование Лапласа. Оригинал и изображение. Необходимое условие существования оригинала.
- •Определение
- •Определение
- •Теорема 1
- •Теорема 2 (необходимое условие существование оригинала)
- •31. Теоремы подобия, затухания и запаздывания.
- •Теорема подобия
- •Теорема затухания или сдвига изображения
- •Теорема запаздывания или сдвига оригинала
- •Теорема дифференцирование оригинала
- •Теорема дифференцирование изображения
- •Теорема интегрирование оригинала
- •32. Теоремы о дифференцировании и интегрировании оригинала и изображения.
- •Теорема (о дифференцировании оригинала)
- •Теорема (о дифференцировании изображения)
- •Теорема (интегрирование оригинала)
- •Теорема (интегрирование изображения)
- •33. Свертка функций, выражение для неё в случае оригиналов. Теорема о свертке.
- •Определение
- •Утверждение
- •Теорема 1
- •Теорема 2 (о свертке)
- •34. Частные производные высших порядков. Перестановка порядков дифференцирования.
- •Определение
- •Теорема
- •Определение
- •35. Дифференциалы первого и высших порядков функции нескольких переменных.
- •Определение
- •Утверждение (инвариативность формы 1-го дифф-ла).
- •Определение
- •Теорема 1
- •Теорема 2
- •36. Теорема о конечных приращениях и формула Тейлора для функции нескольких переменных.
- •Теорема 1 (о конечных приращениях)
- •Теорема 2
- •Следствие из (2)
- •37. Необходимое и достаточные условия экстремума функции нескольких переменных.
- •Теорема 1 (Необходимое условие экстремума)
- •Теорема 2 (Достаточное условие экстремума)
- •38. Числовые ряды. Сходимость ряда. Необходимое условие сходимости.
- •Числовой ряд
- •Определение
- •Теорема (необходимое условие сходимости)
- •Утверждение 1
- •Утверждение 2
- •Утверждение 3
- •39. Признаки сравнения для знакоположительных рядов.
- •Утверждение
- •Теорема 1 (1-й признак сравнения)
- •Замечание
- •Теорема 2 (2-й признак сравнения)
- •40. Признаки Даламбера и Коши сходимости числового ряда.
- •Теорема 1 (признак Даламбера)
- •Теорема 2 (признак Коши “радикальный”)
- •41. Интегральный признак сходимости числового ряда.
- •Теорема (интегральный признак Коши)
- •Замечание
- •Утверждение
- •42. Абсолютная и условная сходимость числовых рядов. Теорема Римана о перестановке членов ряда.
- •Теорема 1
- •Определение
- •Замечание
- •Определение
- •Теорема 2
- •Теорема 3 (Риман)
- •Замечание
- •43. Знакочередующийся ряд. Признак Лейбница, оценка погрешности. Формулировка признака Дирихле.
- •Определение
- •Теорема 1 (признак Лейбница)
- •Замечание
- •44. Функциональные ряды. Область сходимости; равномерная сходимость, достаточное условие.
- •Определение
- •Определение
- •Теорема 2
- •Теорема 3
- •Замечание
- •Теорема 4
- •45. Степенные ряды. Радиус сходимости, почленное дифференцирование и интегрирование.
- •Теорема 1 (Абель)
- •Теорема 2
- •Теорема 3
- •Заметка?
- •Замечание
- •46. Ряды Тейлора для элементарных функций и их области сходимости.
- •Замечание
- •47. Скалярное произведение функций. Пространство квадратично интегрируемых функций.
- •Определение
- •Утверждение 1
- •Замечание
- •48. Ортогональные системы (четыре теоремы).
- •Определение
- •Теорема 1
- •Теорема 2
- •Теорема 3
- •Теорема 4
- •49. Обобщенный ряд Фурье: неравенство Бесселя, равенство Парсеваля, сходимость по норме, полнота
- •Ряд Фурье
- •Неравенство Бесселя
- •Равенство Парсеваля
- •50. Разложение периодической функции в ряд Фурье по синусам и косинусам.
- •51. Ряды Фурье только по синусам и только по косинусам.
- •Заметка?
- •52. Ряд Фурье по комплексным экспонентам и его связь с разложением по синусам и косинусам.
Замечание 2
Зачем непрерывность ' ? Есть теорема Пеано: если есть только непрерывная , то решения задачи Коши существуют, но не обязательно единственные
Замечание 3
Условная непрерывность ' можно ослабить до точки, называемой условием Липшица по
переменному
27. Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка и уравнения Бернулли.
Линейное ДУ 1-го порядка – ДУ вида:
Неоднородное – '( ) + ( ) ( ) = ( )
Однородное – '( ) + ( ) ( ) = 0
Решение ДУ методом вариации произвольной постоянной
0'( ) + ( ) 0( ) = 0
0' =− ( ) 0; |
0 |
=− ( ) 0; ∫ |
0 |
=− ∫ ( ) |
|||||
|
0 |
||||||||
|
0 |
( ) = |
−∫ ( ) + |
= |
−∫ ( ) , где |
−∫ ( ) |
– имеется ввиду какая-нибудь конкретная |
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
первообразная.
Далее ищем решения в виде ( ) = ( ) −∫ ( ) , где ( ) – пока что неизвестная функция
( ( ) −∫ ( ) )' + ( ) ( ) −∫ ( ) = ( )
'( ) −∫ + ( ) −∫ · (− ( )) + ( ) ( ) −∫ ( ) = ( )
( ) = ( ) ∫ ( ) ; ( ) = ∫ ( ) ∫ +
общее решение: ( ) = −∫(∫ ( ) ∫ + )
Решение ДУ методом Бернулли
' + ( ) = ( )
Ищем решения в виде ( ) = ( ) ( ) (...) Подставим: ' + ' + =
Требуется: ' + = 0 ' + = 0
=− ( ) ; ∫ =− ∫ ( ) ; ( ) = −∫ ( )
Тогда: ' = ; '( ) −∫ = ( )
( ) = ∫ ( ) |
∫ |
−∫ |
(∫ ( ) |
∫ |
+ ) |
+ ; ( ) = ( ) ( ) = |
|
|
ДУ Бернулли
'( ) + ( ) ( ) = ( ) · α( ) (α ≠ 0 ≠ 1)
Способ 1: сведение к линейному ДУ
−α + ( ) · ( ) = ( ) · α( )
( 1−α( ))' = (1 − α) −α( ) · '( )
1−α( ) ≡ ( ) −α( ) · '( ) = 1−1α '( )
1−α1 '( ) + ( ) ( ) = ( ) и т.д
Способ 2
' = 2 2
( ) = ( ) α( ) α( )
∫2 = ∫ ( ) α−1( )
−α+1 |
(1−α)∫ |
|
|
|
|
|
−α+1 |
= ∫ ( ) |
+ |
|
|
|
|
|
|
(1−α)∫ |
|
1 |
|
|
( ) = ((1 − α) ∫ ( ) |
+ ) |
1−α |
|
|||
|
−∫ ( ) |
(1−α)∫ ( ) |
1 |
|||
( ) = |
((1 − α) ( ) |
|
) |
1−α |
||
Соседние файлы в предмете Математический анализ