( →*) |
( , ( )) ≡ 0. |
Эта функция тоже непрерывна дифференцируема; и |
||
→ |
→ → → → |
→ |
||
→ → |
→ −1 |
→ |
|
|
( ) =− ( '→) |
· '→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема 3 ( об обратной функции)
|
|
|
, ; ( ) |
непрерывно дифференцируема и |
'( *) ≠ 0 |
, |
*≡ ( *) |
. Тогда в |
||||||||||||||||||||||||||||||||
Пусть → → |
|
|
|
|
→ → |
|
→ → |
|
|
|
|
→ |
→ → |
|||||||||||||||||||||||||||
некоторой окрестности |
→* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ( ) |
|
|
|
|
( *) = * |
||||||||||||||||||||||
|
|
определена единственная функция → |
→ → |
такая, что → → |
|
→ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
→ → |
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
и |
( →*) ( ( )) = |
. |
|
Эта |
функция |
|
|
|
тоже |
непрерывно |
|
дифференцируема, |
и |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
→ → |
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
→ → |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
'( ) =− ( ( ))|→=→( ) |
|
|
|
|
|
|
|
( , ) = − ( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Это частный случай теоремы 2 для → → → |
→ |
→ → |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
24. Производная по направлению и градиент. |
|
|
|
|
|
|
4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
В |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
, где → |
|
|
(хотя можно и в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Определение: = (1,(производная, ) ≡ ( ) |
по направлению= ( , , )) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
Производной |
|
функции |
|
( ) |
по |
направлению единичного |
|
|
вектора называется: |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
→ |
|
|
→ |
|
|
→ |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
∂ |
= |
→0lim |
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
→ |
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
( |
|
+( + ))− ( |
+) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
∂→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Замечание |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
∂ ; |
∂ |
|
; ∂ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
∂ |
|
∂ |
|
|
∂ |
– это производные по направлениям векторов → → |
→ соответственно |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
Обозначение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=...= ' + ' + ' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
→ |
|
|
→ |
|
|
|
|
|
. Тогда |
∂ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
( |
+ ) ≡ ( ) |
|
|
|
|
|
∂→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Определение 2 (градиент функции) |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
( , , ) |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
это так |
|
( '; '; ') |
|
называется градиентом ( |
) функции |
. Градиент – |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
Вектор |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
называемый ковариантный вектор.
Замечание
= ( ∂∂ ; ∂∂ ; ∂∂ ) = ( ∂∂ ; ∂∂ ; ∂∂ )