Определение
Функция |
( ) |
непрерывна в точке |
|
* |
, если |
→lim→* |
( ) |
= ( |
*) |
. |
( ) |
непрерывна на |
|||||||||||||||||
|
→ |
|
→ |
|
→ |
→ |
|
→ |
|
|
→ |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
множестве М, если она непрерывна в каждой точке множества М. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Теорема 1 (Вейерштрасса) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
||||||||||
Пусть множество |
|
|
|
ограничено |
и |
замкнуто и |
|
непрерывна |
на М. |
Тогда |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
→ |
|
→ |
||||||||||||||||||||||
ограничена на М, причем ……. т.е. |
Ǝ , ϵ : ( ϵ ) ( ) ≤ ( ) ≤ ( ) |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
→ → |
|
|
|
→ |
|
→ |
|
→ |
|
|
→ |
|
|
|
|
|||||||||||||
Доказательство как в |
|
1 (из принципа компактности) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Определение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ε > 0) δ > 0 : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
→ равномерно непрерывна на |
, если |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
→ → |
|
|
|
→ |
|
→ |
≤ δ) |
| |
→ |
|
→ |
|
| |
≤ ε |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
: ( , ϵ : |
− |
( ) − ( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Теорема 2 (|Кантор| |
)|| |
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
|
|
||||||||||
Пусть |
|
ограничена и замкнута и |
непрерывна на М. |
Тогда |
равномерно |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
→ |
|
→ |
|||||||||||||||||||||||
непрерывна на М |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Доказательство как в 1 (из принципа компактности) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
21. Частные производные и дифференцируемость функции нескольких переменных. |
|
||||||||||||||||||||||||||||
= |
→ |
, т.е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
= ( 1, 2, ..., ) = ( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Определение (частная производная)
Частная производная
фиксированы.
∂ |
– это производная по |
|
при условии, что все остальные аргументы |
∂ |
|
||
Определение (дифференцируемость)
Функция |
( ) |
дифф-ма в точке |
|
|
, если |
|
числа |
1, 2, ..., |
: ( |
+ |
) − ( ) = |
|
→ |
→ |
|
|
|
→ |
|
→ |
→ |
||||
→
= 1 1 + 2 2 +...+ + (|| ||)
Замечание
→ |
→ |
|
→ |
→ 0 |
|
→ |
, если |
( ) |
при |
||||
( ) = (|| ||) |
|
|| →|| |
|
|| ||→ 0 |
||