Добавил:
north memphis Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
МатАн II Экзамен Теория.pdf
Скачиваний:
1
Добавлен:
29.01.2025
Размер:
1.89 Mб
Скачать

16. Гамма-функция и её свойства.

Определение

Г( ) −

+∞

 

 

 

 

 

 

 

−1 −

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

Свойство 1:

 

> 0

 

> 0

 

 

 

 

−1 −

сходящийся при

(При

, если

)

Интеграл +∞

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

Свойство 2: (ОСНОВНОЕ)

Г( + 1) = Г( )( )

Доказательство:

+∞

+∞

(

) =

 

 

Г( + 1) = ∫

 

=− ∫

 

0

 

0

 

 

+∞

+∞

 

+∞

 

 

=− |0+∞ + ∫ ( ) = ∫ − −1 = ∫ =

= Г( )

 

0

 

 

 

 

0

0

 

 

 

 

 

 

 

 

Свойство 3:

 

 

 

 

 

 

 

 

= 0, 1, 2, 3... Г( + 1) = !

 

Доказательство:

 

 

 

 

 

 

Из свойства 2:

 

 

 

 

 

 

Г(1)

=

+∞

 

 

 

 

 

 

 

=− |0+∞ = 1 = 0!

Г(2)

=

0

*

Г(1)

=

1

*

0!

=

1!

1

Г(3)

=

2

*

Г(2)

=

2

*

1!

=

2!

Г(4)

=

3

*

Г(3)

=

3

*

2!

=

3!

Замечание:

Если то считаем, что ! = Г( + 1) по определению.

Свойство 4:

Свойство (2) позволяет доопределить Г( ) на всю , кроме точек = 0, − 1, − 2, − 3...

Соседние файлы в предмете Математический анализ