15. Несобственные интегралы 1-го и 2-го рода. Признаки сравнения, абсолютная и условная сходимость.
Определение
(Несобственный интеграл 1-го рода) Пусть ( ) интегрируема на любом конечном промежутке,
∫ ( ) = |
lim→+∞ |
∫ ( ) |
если при этом предел существует и конечен, то интеграл |
тогда +∞ |
|
|
|
|
|
|
|
сходящийся, иначе - расходящийся.
Утверждение 1
+∞ |
+∞ |
Пусть ( ) ( ) ≥ 0 ,тогда ∫ ( ) - сходящийся : ( ) ∫ ( ) ≤
|
|
Утверждение 2 |
|
∫ |
α |
α > 1 |
|
α ≤ 1 |
|
+∞ |
|
- сходящийся, при |
|
(?), расходящийся при |
|
|
|
|
|
|
|
Утверждение 3 (1-й признак сравнения)
Пусть ( ) ( ) ≥ ( ) ≥ 0, тогда:
|
∫ ( ) |
∫ ( ) |
|
|
|
|||
если +∞ |
|
- сходится, то сходится и +∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ ( ) |
∫ ( ) |
- расходится |
|
|
|
||
если +∞ |
|
- расходится, то и +∞ |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Утверждение 4 (2-й признак сравнения) |
|
→ + ∞ ( |
lim→+∞ |
( ) |
= 1) |
|||
|
( ), ( ) > 0 ( ) и ( ) ( ) |
|
||||||
Пусть |
|
сходится, то и +∞ |
при |
|
|
( ) |
, тогда если |
|
+∞ |
|
|
|
|
|
|
||
∫ ( ) |
|
∫ ( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Замечание 1
∫ ( ) определяется аналогично.
−∞
Замечание 2
Если |
+∞ |
- сходится, то и |
+∞ |
, и |
|
|
∫ ( ) |
|
∫ ( ) |
|
∫ ( ) |
−∞ |
|
−∞ |
Замечание 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если |
+∞ |
|
- расходится, |
то |
главным значением |
этого |
интеграла |
|
называют |
||||||||
+∞ |
∫ ( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
∫ ( ) ≡ lim→+∞ |
|
∫ ( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
−∞ |
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(Несобственный |
|
интеграл |
2-го |
рода) |
Если |
предположить, |
что |
|
|
интегрируема на |
|||||||
[ + δ; ] ( δ > 0) |
, |
но |
не |
ограничена |
в |
|
|
|
точки |
|
, |
тогда |
|||||
∫ ( ) ≡ δ→+0lim |
|
|
|
окрестности ( ) |
|
|
|
||||||||||
|
∫ ( ) |
. При |
этом |
если |
такой |
предел |
|
и |
конечен, то |
|
интеграл |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
+δ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сходящийся.
При этом предполагается, что функция интегрируема на промежутке от + δ до
Утверждение
∫ |
α |
α < 1 |
|
α ≥ 1 |
|
|
|||||
1 |
|
сходится при |
|
|
|
и расходится при |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определение |
|
|
|
∫ ( ) |
|
|
|
|
|||
|
|
∫ | ( )| |
|
называют абсолютно сходящимся. |
|||||||
1) Если +∞ |
|
|
сходится, то +∞ |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ ( ) |
|
|
|
∫ ( ) |
|
|
∫ | ( )| |
расходится, то |
называют условно |
||||
2) Если +∞ |
|
сходящийся, но +∞ |
|
|
+∞ |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сходящимся