14. Внутренние, изолированные и предельные точки. Открытые и замкнутые мн-ва

Определение 1

Окрестности точки 0 радиуса ( – окрестность) — это 0 ≡ (0 − ; 0 + )

Проколотая окрестность - окрестность без точки 0 ( 0 \{0} ≡ (0 − ; 0) (0; 0 + ))

Определение 2

— внутренняя точка множества , если: : , (окрестность точки принадл. мн-ву )

Определение 3

Замечание: предельная точка может не принадлежать мн-ву

Замечание: Если и – не предельная точка, то называется изолированной точкой Определение 4

Множество называется открытым, если все его точки внутренние Определение 5

Множество называется замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки

Утверждение

— замкнуто ( ( ): , → )

Теорема 1

Дополнение (дополнение до : ( ) ≡ \) до открытого множества замкнуто и наоборот

Теорема 2

Объединение любого набора и пересечение конечного набора открытых множеств тоже открыто Следствие Пересечение любого набор и объединение конечного набора замкнутых множеств тоже замкнуто