Теорема 3
|
( ) |
≠ 0 |
|
lim→∞ = , ≠ 0 |
|
|
lim→∞ |
|
= |
|
|
|
||||||
Пусть |
|
|
|
и |
→ (≠ 0), → |
. Тогда |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
lim→∞ |
|
= |
|
|
|
||||||||
Следствие 1: Если |
|
→ , ( ) ≠ 0 |
|
,то |
|
|
|
|
|
|
|
|
lim→∞ |
|
= ∞ |
|||
|
|
|
|
|
→ (≠ 0) |
|
|
|
|
|||||||||
Следствие 2: Если |
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
,то |
|
|
|
|||||
5.Неравенство Бернулли, предел геометрической прогрессии
Теорема 1. Неравенство Бернулли
Пусть ≥ − 1 и . Тогда (1 + ) ≥ 1 +
Теорема 2
Если > 1,то lim = + ∞
→∞
Следствия
Следствие 1: Если | | > 1,то → ∞
Следствие 2: Если | | < |
1,то → 0. (| |
1 |
| > 1 | |
1 |
| → |
+ ∞) |
∞ |
|
|
+1 |
|
|
|||||||||
Следствие 3: |
|
∞ |
|
|
1 |
. Здесь |
∞ |
|
|
|
|
∞ |
, где |
1− |
|
1−0 |
|||||
|
| | < 1 |
∑ |
|
= |
|
|
|
∑ |
|
= |
lim→∞ |
∑ |
|
∑ |
= |
|
→ |
||||
|
|
1− |
|
|
|
|
|
1− |
1− |
||||||||||||
|
|
=0 |
|
|
|
|
|
|
=0 |
|
|
|
|
=0 |
|
=0 |
|
|
|
|
|
6. Супремумы и инфимумы. Их свойства
Определение: мн-во ограничено сверху, если 1: ( ) ≤ 1 и ограничено снизу, если
2: ( ) ≥ 2. При этом 1 и 2 – это верхняя и нижняя границы соответственно.
Супремум мн-ва (sup ) — это наименьшая из верхних границ; Инфимум мн-ва (inf ) — это наибольшая из нижних границ.
Теорема 1
sup — точная верхняя граница (минимальная верхняя граница) в смысле: = sup
1) – верхняя граница
2) ( ε > 0) : > − ε
Аналогично: inf — точная нижняя граница (максимальная нижняя граница)