43. Первообразная функция, неопределенный интеграл. Основная таблица неопределённых интегралов.
Определение
Пусть ( ) определение на (?) промежутке. Тогда ( ) — первообразная для ( ), если
'( ) = ( ) ( )
Замечание 1
( ) — (?) ( )
Замечание 2
Если ( ) -(?) и = , то ( ) + - тоже первообразная (т.к. c=0)
Теорема
Если 1( ) и 2( ) — первообразная ( ), то ' = : 2( ) = 1( ) +
Определение
Неопределенный интегралом от ( ) называется множество всех её первообр.:
∫ ( ) = { ( ) + }= (1), где ( ) – какая-нибудь первообразная
Вместо (1) пишут:
∫ ( ) = ( ) + , где – “произвольн.”
Утверждение 1
(∫ ( ) )' = ( )
Утверждение 2
∫ '( ) = ( )
Утверждение 3 (линейность)
α, β = ∫(α ( ) + β ( )) = α∫ ( ) + β∫ ( )
Замечание
Это формально неверно при α = β = 0, так как
∫0 * = { }=
0∫ ( ) ( ) = {0}
Замечание
1) |
∫1 · = ∫+1 = |
+ |
||||||||
2) |
∫ = |
+1 |
+ |
( ≠ 1) |
||||||
3) |
∫ |
1 |
= ( ) + |
|||||||
4) |
|
|
|
|
|
+ |
|
|||
5) |
∫ = |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
||||||
6) |
∫ = + |
|
||||||||
7) |
∫ cos( ) = sin( ) + |
|||||||||
8) |
∫ sin( ) =− cos( ) + |
|||||||||
|
∫ |
1 |
= + |
|||||||
|
cos2 |
|||||||||
9) |
|
1 |
=− ( ) + |
|||||||
|
∫ sin2 |
|||||||||
10) |
∫ |
1 |
= ( ) + |
|||||||
|
1+ 2 |
|||||||||
11) |
∫ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1− 2 = arcsin ( ) + |
|||||||||
12)∫ ( ) = ( ) +
13)∫ ( ) = ( ) +
14)∫ 21 = ( ) +
( )
|
∫ |
2( ) |
=− ( ) + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
15) |
∫ |
1 |
|
|
= ( ) + = |
( + |
|
2 |
+ 1) |
+ |
||||
16) |
1 |
|
|
|||||||||||
|
2+1 |
|
|
|||||||||||
17) |
∫ |
1 |
|
|
= ( ) + = |
( + |
|
2 |
− 1) |
+ |
||||
|
2−1 |
|
|
|||||||||||
18) |
∫ |
1 |
= ( ) + = |
1 |
|
|
1+ |
|
|
(| | < 1) |
||||
|
2−1 |
2 |
|
· ( 1− ) + |
||||||||||
19) |
∫ |
1 |
= ( ) + = |
|
1 |
|
· ( |
+1 |
|
|
|
(| | > 1) |
||
|
2+1 |
|
2 |
|
−1 ) + |
|
||||||||