Теорема 2 (остаточный член в форме Лагранжа)

Тогда ( ) точка ,

Пусть ( ) дифф-ма ( + 1)

раз в некоторой окрестности точки 0.

лежащая между 0 и , такая, что

( ) =

( +1)

· ( − 0

) +1

( +1)!( )

Следствие

то ( ) = (( − 0

) +1)

Если ( +1)( ) ограничена,

41. Общая формула Маклорена, асимптотика при → 0 и ее свойства.

Частный случай формулы Тейлора для 0 = 0

( )

''(0)

2

(0)

(1)

( ) =

(0)

+ '(0) *

+

* +... +

* +

( )

2!

!

т.е.:

при

, где

( )

(2)

( )

= 0* 1 * +... + *

+ ( )

→ 0

=

!

(2) - асимптотика функции

при

→ 0

Утверждения

Утверждение 1

Асимптота

единственная,

то

есть

если

верно

(1)

и

при

этом

( )

= 0

+ 1

* +... + *

+ ( ), то ( )

=

- б/д

Тогда (1) - это формула Маклорена, то есть

=

( )(0)

Утверждение 3

=

!

1)​ ( ) — четная (т.е. (− )

( )), то​

2*

2*

2*

( )

=

0

2

*

2

+

4

*

4

+... +

+ (

)

+

2)​ ( )

— нечетная (т.е.

(− ) =

− ( )

), то​

( )

= 1

+

3 * 3 + 5

* 5

+... + 2* +1 2* +1

+ ( 2* +1)