1)​ ( ) '( ) ≥ 0 ( ) (возм не строго) 2)​ ( ) '( ) > 0 ( ) (строго)

Следствие (достаточное условие экстремума)

Если '( ) ≥ 0 ( < 0) и '( ) ≤ 0 ( > 0), то 0 – локальный макс (при условии, что

( ) – непрерывна в точке 0)

Теорема 3

Пусть ( ) 2 раза дифф-ма в точке 0.Тогда:

1)​ ''( 0) > 0 0 — точка строго минимум

2)​ ''( 0) < 0 0 — точка строго максимум

При условии, что '( 0) = 0

38. Выпуклость функции и ее связь с производными

Определение

( ) называется выпуклой вниз, если 1 < 2, ϴ (0; 1)​

(ϴ 1 + (1 − ϴ) 2) ≤ ϴ ( 1) + (1 − ϴ) ( 2) — неравенство Йенсена​ Аналогично, выпукла вверх: (ϴ 1 + (1 − ϴ) 2) ≥ ϴ ( 1) + (1 − ϴ) ( 2)

Теорема 1

( ) выпукла вниз ( 1 < 2 < 3); δ ( 1, 2) ≤ δ ( 2, 3)

Теорема 2

Пусть ( ) дифф-ма на ( ; ).Тогда ( ) выпукла вниз на ( ; ) '( ) на ( ; )

Теорема 3

Пусть ( ) дифф-ма 2 раза на ( ; ).Тогда:

1)​ ( ) выпукла вниз ( ) ''( ) ≥ 0

2)​ ( ) выпукла вверх ( ) ''( ) ≤ 0

Замечание

Из ''( ) > 0 или ''( ) < 0 ( ) следует строгая выпуклость