Добавил:
Вуз:
Предмет:
Файл:
МатАн Экзамен Теория.pdf
35. Правило Лопиталя для бесконечно малых
Теорема 1
Пусть |
|
|
( ), ( ) |
дифф-мы |
|
на |
( ; ); |
lim ( ) = |
lim ( ) = 0 |
и |
|||||||||||
→lim+0 |
|
'( ) |
|
|
= (возм. =± ∞) |
. |
|
|
|
→ +0 |
|
→ +0 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
'( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Тогда |
→lim+0 |
|
( ) |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Теорема 2 |
( ) |
|
|
|
|
( ; + ∞) |
( ( ; + ∞)) '( ) ≠ 0 |
|
|
|
|||||||||||
Пусть |
( ) |
|
|
при |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
, |
|
|
|
дифф-мы на |
|
|
|
; |
'( ) |
|
|
|
|||||||
( ) → 0 |
и |
( ) → 0 |
|
→ + ∞ |
и |
lim→+∞ |
'( ) |
= |
. |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Тогда |
lim→+∞ |
|
|
( ) |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
36. Правило Лопиталя для бесконечно больших
Лемма (для последовательностей)
Пусть |
lim = ∞ и |
lim |
= ∞ |
|
|
||
Тогда |
→∞ |
→∞ |
|
|
|
|
|
( ): lim = |
∞, lim |
= 0, |
lim→∞ |
||||
|
|
|
|||||
|
→∞ |
→∞ |
|
|
|
|
|
Теорема 1
Пусть ( ), ( ) дифференцируемы на ( ; ), ( ( , )) '( ) ≠ 0;
lim |
|
( ) = ∞ |
и |
lim ( ) = |
∞ |
и |
lim |
'( ) |
= |
; |
|
|
|
|
'( ) |
|
|||||||
→ +0 |
|
|
|
→ +0 |
|
|
→ +0 |
|
|
|
|
Тогда |
|
lim |
( ) |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
'( ) |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
→ +0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема 2
37. Монотонность и экстремумы функции. Необходимые и достаточные условия экстремума
Теорема 1
Пусть ( ) дифф-ма на ( ; ) и ( ) (возм не строго). Тогда ( ( ; )) '( ) ≥ 0
Теорема 2
Пусть ( ) дифф-ма на ( ; ). Тогда: