33. Теорема Ферма (необходимое условие экстремума) и Ролля

Определение

Пусть 0 - внут. точка ( ). Тогда: 0- точка локального минимума, если:

1)​ Локальный экстремум - это локальный минимум или максимум 2)​ Локальный экстремум - строгий, если неравенства в (1) или (2) - строгие.

Теорема Ферма (необходимое условие экстремума)

Если 0 - локальный экстремум и ( ) дифф-ма в точке 0, то ( 0) = 0

Теорема Ролля

Пусть ( ) непрерывна на [ ; ] и дифф-ма на ( ; ) и при этом ( ) = ( ). Тогда

( ; ): `( ) = 0

34. Теоремы Лагранжа и Коши (о конечных приращениях)

Теорема 1 (Лагранж, о конечных приращениях)

Пусть ( ) непрерывна на [ ; ] и дифф-ма на ( ; ). Тогда ( ; ): `( ) = ( )− ( )

−

Теорема 2 (Коши, о конечных приращениях)

Пусть ( ), ( ) непрерывны на [ ; ] и дифф-ма на ( ; ), причем ( ( ; )) '( ) ≠ 0.

Тогда:

( ; ): ( )− ( ) = '( )( )− ( ) '( )