25. Равномерная непрерывность функции, теорема Кантора, модуль непрерывности.

Функция ( ) называется равномерно непрерывной на множестве ,если

( ε > 0) δ. 0: ( , : | − | < δ) | ( ) − ( )| < ε

Теорема 1 (Кантор)

Функция,непрерывная на [ ; ], равномерно непрерывна на этом отрезке.

Замечание: На – теорема неверна!

Модулем непрерывности для ( ) на множестве называется функция:

ω (δ) = {| ( ) − ( )|: , и | − | ≤ δ}

26.Производная функции. Односторонние производные. Геометрический смысл производной. Связь с непрерывностью.

27.Арифметические свойства производной и их доказательство.

Утверждение 1

( ( ) + ( ))' = '( ) + '( ) ( ' — производная)

(α ( )) = α '( )

Утверждение 2

( ( ) * ( ))' = '( ) * ( ) + ( ) * '( )

Утверждение 3

28. Теоремы о производной сложной и обратной функции

Теорема 1

Пусть ( ) дифференцируема в точке 0и ( ) дифференцируема в точке 0 = ( 0). Тогда

( 0) = ( ( )) дифференцируема в точке 0и '( 0) = '( ( 0)) * '( 0)

Теорема 2

Пусть ( ) непрерывна и строго монотонная в окрестности т. 0 и '( 0) ≠ 0. Тогда обратная к