Добавил:
Вуз:
Предмет:
Файл:
МатАн Экзамен Теория.pdf
X
- •Теоретические вопросы
- •1. Предел последовательности. Ограниченность, единственность, бесконечные пределы
- •Теорема 1. Ограниченность
- •Теорема 2. Единственность
- •Теорема 3. Бесконечные пределы
- •2. Свойства пределов, связанные с неравенствами
- •Теорема 1. Отделимость от нуля
- •Теорема 2
- •Теорема 3
- •Теорема 4. О двух милиционерах
- •3. Бесконечно малые последовательности и их свойства
- •Теорема 1
- •Теорема 2
- •Теорема 3
- •Следствия
- •4. Арифметические свойства пределов последовательностей
- •Теорема 1
- •Теорема 2
- •Теорема 3
- •5. Неравенство Бернулли, предел геометрической прогрессии
- •Теорема 1. Неравенство Бернулли
- •Теорема 2
- •Следствия
- •6. Супремумы и инфимумы. Их свойства
- •Теорема 1
- •Теорема 2
- •Утверждения
- •Утверждение 1
- •Утверждение 2
- •7. Существование супремумов и инфимумов
- •Утверждение
- •Теорема
- •8. Монотонные последовательности
- •Определение
- •Теорема 1
- •Теорема 2. Принцип вложенных отрезков
- •Следствие
- •10. Частичные пределы
- •Определение
- •Утверждение 1
- •Утверждение 2
- •Теорема 1
- •Теорема 2
- •11. Принцип компактности
- •Теорема 1. Больцано-Вейерштрасса
- •Следствие
- •12. Фундаментальные последовательности. Критерий Коши
- •Определение
- •Утверждение
- •Теорема 1
- •Вывод
- •13. Верхний и нижний пределы последовательности. Связь с частичными пределами и сходимостью
- •Определение
- •Утверждения
- •Утверждение 1
- •Утверждение 2
- •Утверждение 3
- •Теорема
- •Следствие
- •14. Внутренние, изолированные и предельные точки. Открытые и замкнутые мн-ва
- •Определение 1
- •Определение 2
- •Определение 3
- •Определение 4
- •Определение 5
- •Утверждение
- •Теорема 1
- •Теорема 2
- •Следствие
- •15. Предел функции
- •Определение 1. Предел по Коши
- •Замечания
- •Определение 2. Предел по Гейне
- •Следствие. Арифметические св-ва
- •Теорема 1
- •Теорема 2. Отделимость от нуля
- •16. Односторонние пределы функции, бесконечные пределы, пределы на бесконечности.
- •Определение 1. Бесконечные пределы
- •Определение 2. Односторонние пределы
- •Определение 3. Пределы на бесконечности
- •17. Непрерывность функции, типы точек разрыва
- •Определение 1
- •Определение 2
- •Утверждения
- •Утверждение 1
- •Утверждение 2
- •Классификация
- •Теорема
- •18. Две теоремы Больцано-Коши (о промежуточных значениях непрерывной функции)
- •Теорема 1. Больцано-Коши
- •Замечания
- •Контрпример
- •Теорема 2. Больцано-Коши(о промежуточных значениях)
- •19. Непрерывность сложной и обратной функции.
- •Теорема 1. О сложной функции
- •Теорема 2. О обратной функции
- •20. Показательная функция(доопределение на все вещественные числа), ее непрерывность.
- •Определение.
- •Лемма.
- •Теорема 2.
- •21. Первый замечательный предел
- •22. Второй замечательный предел
- •Теорема 1
- •Следствие
- •Утверждение
- •23. Бесконечно большие и бесконечно малые величины, эквивалентность, символы “O” и “o”.
- •24. Две теоремы Вейерштрасса(о максимумах и минимумах непрерывной функции).
- •Теорема 1
- •Теорема 2
- •25. Равномерная непрерывность функции, теорема Кантора, модуль непрерывности.
- •Теорема 1 (Кантор)
- •26. Производная функции. Односторонние производные. Геометрический смысл производной. Связь с непрерывностью.
- •27. Арифметические свойства производной и их доказательство.
- •Утверждение 1
- •Утверждение 2
- •Утверждение 3
- •28. Теоремы о производной сложной и обратной функции
- •Теорема 1
- •Теорема 2
- •29. Гиперболические функции, их свойства и производные.
- •Свойства:
- •Производные:
- •30. Обратные гиперболические функции и их производные.
- •31. Производные высших порядков, формула Лейбница
- •Общее обозначение производной порядка n-1:
- •Теорема (формула Лейбница)
- •Формула Лейбница частный случай
- •32. Производные параметрически заданной функции
- •Теорема
- •33. Теорема Ферма (необходимое условие экстремума) и Ролля
- •Определение
- •Теорема Ферма (необходимое условие экстремума)
- •Теорема Ролля
- •34. Теоремы Лагранжа и Коши (о конечных приращениях)
- •Теорема 1 (Лагранж, о конечных приращениях)
- •Теорема 2 (Коши, о конечных приращениях)
- •35. Правило Лопиталя для бесконечно малых
- •Теорема 1
- •Теорема 2
- •36. Правило Лопиталя для бесконечно больших
- •Лемма (для последовательностей)
- •Теорема 1
- •Теорема 2
- •37. Монотонность и экстремумы функции. Необходимые и достаточные условия экстремума
- •Теорема 1
- •Теорема 2
- •Следствие (достаточное условие экстремума)
- •Теорема 3
- •38. Выпуклость функции и ее связь с производными
- •Определение
- •Теорема 1
- •Теорема 2
- •Теорема 3
- •Замечание
- •39. Представление многочлена в форму Тейлора, связь с кратностью корня.
- •Определение
- •Утверждение
- •Теорема 1
- •Определение
- •Теорема 2
- •40.Формула Тейлора для произвольной функции, остаточный член в форме Пеано и Лагранжа
- •Формула
- •Теорема 1 (остаточный член в форме Пеано)
- •Теорема 2 (остаточный член в форме Лагранжа)
- •Следствие
- •Утверждения
- •Утверждение 1
- •Утверждение 2
- •Утверждение 3
- •Утверждение 4
- •42. Дифференциалы первого и высших порядков. Запись формулы Тейлора через дифференциалы.
- •Определение 1
- •Утверждение. инвариантная форма первого дифференциала
- •Определение 2. Дифференциал второго
- •Определение 3
- •Формула Тейлора
- •43. Первообразная функция, неопределенный интеграл. Основная таблица неопределённых интегралов.
- •Определение
- •Замечание 1
- •Замечание 2
- •Теорема
- •Определение
- •Утверждение 1
- •Утверждение 2
- •Утверждение 3 (линейность)
- •Замечание
- •Замечание
20. Показательная функция(доопределение на все вещественные числа), ее непрерывность.
Определение.
Пусть > 0 и ≠ 1.
Функция ( ) называется показательной(обозначим: ( ) = ), если:
1) ( + ) = ( ) * ( ). ( − = : )
2) (1) = . ( 1 = )
3) ( ) непрерывна на .
На
|
|
|
|
|
=> = |
= ( |
) |
При этом: |
|
|
|||
1) |
( |
1 |
|
= |
1 |
|
) |
|
|
||
=> достаточно рассмотреть > 1.
2) > 1 |
=> (строго) на . |
||||
|
|
|
|
|
|
ϵ , но => = ?? |
→ ( ) . |
||||
Идея: = |
lim , где |
||||
|
|
→∞ |
|
|
|
Лемма. |
|
|
|
||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
→ 1 при → ∞ |
lim = |
||
Теорема 2. |
|
||||
Пусть ( ) и |
|||||
Тогда lim |
|
→∞ |
|
||
|
|
→∞ |
|
|
|
, огранич. и не зависит от выбора( )
Соседние файлы в предмете Математический анализ