Оглавление: |
|
|
1. Предел последовательности. Ограниченность, единственность, бесконечные пределы |
7 |
|
Теорема 1. |
Ограниченность |
7 |
Теорема 2. |
Единственность |
7 |
Теорема 3. |
Бесконечные пределы |
7 |
2. Свойства пределов, связанные с неравенствами |
7 |
|
Теорема 1. |
Отделимость от нуля |
7 |
Теорема 2 |
|
7 |
Теорема 3 |
|
7 |
Теорема 4. |
О двух милиционерах |
8 |
3. Бесконечно малые последовательности и их свойства |
8 |
Теорема 1 |
8 |
Теорема 2 |
8 |
Теорема 3 |
8 |
Следствия |
8 |
4. Арифметические свойства пределов последовательностей |
8 |
Теорема 1 |
8 |
Теорема 2 |
8 |
Теорема 3 |
9 |
5. Неравенство Бернулли, предел геометрической прогрессии |
9 |
Теорема 1. Неравенство Бернулли |
9 |
Теорема 2 |
9 |
Следствия |
9 |
6. Супремумы и инфимумы. Их свойства |
9 |
Теорема 1 |
9 |
Теорема 2 |
10 |
Утверждения |
10 |
Утверждение 1 |
10 |
Утверждение 2 |
10 |
Утверждение 3 |
10 |
7. |
Существование супремумов и инфимумов |
10 |
|
Утверждение |
10 |
|
Теорема |
10 |
8. |
Монотонные последовательности |
10 |
|
Определение |
10 |
|
Теорема 1 |
10 |
|
Теорема 2. Принцип вложенных отрезков |
11 |
9. Число e |
11 |
Следствие |
11 |
10. Частичные пределы |
11 |
Определение |
11 |
Утверждение 1 |
11 |
Утверждение 2 |
11 |
Теорема 1 |
11 |
Теорема 2 |
11 |
11. Принцип компактности |
12 |
Теорема 1. Больцано-Вейерштрасса |
12 |
Теорема 2. На |
12 |
Следствие |
12 |
12. Фундаментальные последовательности. Критерий Коши |
12 |
Определение |
12 |
Утверждение |
12 |
Теорема 1 |
12 |
Теорема 2. На |
12 |
Вывод |
12 |
13. Верхний и нижний пределы последовательности. Связь с частичными пределами и
сходимостью |
13 |
Определение |
13 |
Утверждения |
13 |
Утверждение 1 |
13 |
Утверждение 2 |
13 |
Утверждение 3 |
13 |
Теорема |
13 |
Следствие |
13 |
14. Внутренние, изолированные и предельные точки. Открытые и замкнутые мн-ва |
14 |
Определение 1 |
14 |
Определение 2 |
14 |
Определение 3 |
14 |
Определение 4 |
14 |
Определение 5 |
14 |
Утверждение |
14 |
Теорема 1 |
14 |
Теорема 2 |
14 |
Следствие |
14 |
15. Предел функции |
14 |
|
Определение 1. |
Предел по Коши |
15 |
Замечания |
|
15 |
Определение 2. |
Предел по Гейне |
15 |
Следствие. Арифметические св-ва |
15 |
|
Теорема 1 |
|
15 |
Теорема 2. Отделимость от нуля |
15 |
|
16. Односторонние пределы функции, бесконечные пределы, пределы на бесконечности. |
15 |
|
Определение 1. |
Бесконечные пределы |
15 |
Определение 2. |
Односторонние пределы |
15 |
Определение 3. |
Пределы на бесконечности |
16 |
17. Непрерывность функции, типы точек разрыва |
16 |
Определение 1 |
16 |
Определение 2 |
16 |
Утверждения |
16 |
Утверждение 1 |
16 |
Утверждение 2 |
16 |
Классификация |
16 |
Теорема |
16 |
18. Две теоремы Больцано-Коши (о промежуточных значениях непрерывной функции) |
17 |
|
Теорема 1. |
Больцано-Коши |
17 |
Замечания |
17 |
|
Контрпример |
17 |
|
Теорема 2. |
Больцано-Коши(о промежуточных значениях) |
17 |
19. |
Непрерывность сложной и обратной функции. |
17 |
|
|
Теорема 1. |
О сложной функции |
17 |
|
Теорема 2. |
О обратной функции |
17 |
20. |
Показательная функция(доопределение на все вещественные числа), ее непрерывность. |
||
18 |
|
|
|
|
Определение. |
18 |
|
|
Лемма. |
|
18 |
|
Теорема 2. |
18 |
|
21. |
Первый замечательный предел |
19 |
|
22. |
Второй замечательный предел |
19 |
|
|
Теорема 1 |
|
19 |
|
Следствие |
19 |
|
|
Утверждение |
19 |
|
23. |
Бесконечно большие и бесконечно малые величины, эквивалентность, символы “O” и |
|
“o”. |
19 |
|
24. |
Две теоремы Вейерштрасса(о максимумах и минимумах непрерывной функции). |
19 |
|
Теорема 1 |
19 |
|
Теорема 2 |
19 |
25. |
Равномерная непрерывность функции, теорема Кантора, модуль непрерывности. |
20 |
|
Теорема 1 (Кантор) |
20 |
26.Производная функции. Односторонние производные. Геометрический смысл
производной. Связь с непрерывностью. |
20 |
27. Арифметические свойства производной и их доказательство. |
20 |
Утверждение 1 |
20 |
Утверждение 2 |
20 |
Утверждение 3 |
20 |
28. |
Теоремы о производной сложной и обратной функции |
20 |
|
Теорема 1 |
20 |
|
Теорема 2 |
20 |
29. |
Гиперболические функции, их свойства и производные. |
20 |
|
Свойства: |
21 |
|
Производные: |
21 |
30. |
Обратные гиперболические функции и их производные. |
21 |
31. |
Производные высших порядков, формула Лейбница |
22 |
|
Общее обозначение производной порядка n-1: |
22 |
|
Теорема (формула Лейбница) |
22 |
|
Формула Лейбница частный случай |
22 |
32. |
Производные параметрически заданной функции |
22 |
|
Теорема |
22 |
33. |
Теорема Ферма (необходимое условие экстремума) и Ролля |
23 |
|
Определение |
23 |
|
Теорема Ферма (необходимое условие экстремума) |
23 |
|
Теорема Ролля |
23 |
34. |
Теоремы Лагранжа и Коши (о конечных приращениях) |
23 |
|
Теорема 1 (Лагранж, о конечных приращениях) |
23 |
|
Теорема 2 (Коши, о конечных приращениях) |
23 |
35. |
Правило Лопиталя для бесконечно малых |
24 |
|
Теорема 1 |
24 |
|
Теорема 2 |
24 |
36. |
Правило Лопиталя для бесконечно больших |
24 |
Лемма (для последовательностей) |
24 |
Теорема 1 |
24 |
Теорема 2 |
24 |
37. Монотонность и экстремумы функции. Необходимые и достаточные условия экстремума
24
Теорема 1 |
24 |
Теорема 2 |
24 |
Следствие (достаточное условие экстремума) |
25 |
Теорема 3 |
25 |
38. Выпуклость функции и ее связь с производными |
25 |
Определение |
25 |
Теорема 1 |
25 |
Теорема 2 |
25 |
Теорема 3 |
25 |
Замечание |
25 |
39. Представление многочлена в форму Тейлора, связь с кратностью корня. |
26 |
Определение |
26 |
Утверждение |
26 |
Теорема 1 |
26 |
Определение |
26 |
Теорема 2 |
26 |
40.Формула Тейлора для произвольной функции, остаточный член в форме Пеано и
Лагранжа |
|
26 |
Формула |
|
26 |
Теорема 1 |
(остаточный член в форме Пеано) |
26 |
Теорема 2 |
(остаточный член в форме Лагранжа) |
26 |
Следствие |
27 |
|
41. Общая формула Маклорена, асимптотика при x 0 и ее свойства. |
27 |
Частный случай формулы Тейлора для x0=0 |
27 |
Утверждения |
27 |
Утверждение 1 |
27 |
Утверждение 2 |
27 |
Утверждение 3 |
27 |
Утверждение 4 |
27 |
42. Дифференциалы первого и высших порядков. Запись формулы Тейлора через
дифференциалы. |
28 |
Определение 1 |
28 |
Утверждение. инвариантная форма первого дифференциала |
28 |
Определение 2. Дифференциал второго порядка |
28 |
Определение 3 |
28 |
Формула Тейлора |
28 |
43. Первообразная функция, неопределенный интеграл. Основная таблица неопределённых
интегралов. |
29 |
Определение |
29 |
Замечание 1 |
29 |
Замечание 2 |
29 |
Теорема |
29 |
Определение |
29 |
Утверждение 1 |
29 |
Утверждение 2 |
29 |
Утверждение 3 (линейность) |
29 |
Замечание |
29 |
Замечание |
29 |
Теоретические вопросы
1. Предел последовательности. Ограниченность, единственность, бесконечные пределы
Последовательность — это отображение из в множество чисел ( или ). (иначе,
последовательность — это числовая функция с областью определения .)
Число называется пределом последовательности , если:
( ε > 0) : ( > )| − | < ε
Если такое число существует, то последовательность ( ) сходится, иначе расходится.
Теорема 1. Ограниченность
Если ( ) сходится, то – ограничена, т.е , : ( ) ≤ ≤ (1)
1 2 1 2
Теорема 2. Единственность Если предел существует, то он единственный
Теорема 3. Бесконечные пределы
|
( ) |
≠ 0 |
|
→∞lim |
= 0 →∞lim |
|
= ∞ |
Пусть |
|
|
. Тогда: |
|
|
1 |
|
2.Свойства пределов, связанные с неравенствами
Теорема 1. Отделимость от нуля Пусть → (≠ ∞). Тогда:
1) > 0 |
> 0, : ( |
> ) > |
||
2) < 0 |
< 0, : ( |
> ) < |
||
3) ≠ 0 |
> 0, : ( > ) | | > |
|||
Теорема 2 |
= , то |
→∞lim | | = | | |
||
Если |
→∞lim |
|||
Теорема 3 |
|
|
|
|
Пусть ( ) ≤ и → , → . Тогда ≤ |
||||
Следствие: ( ) ≥ 0 →∞lim |
≥ 0 (обратить внимание на то, что предел(!) больше или |
|||
равен(!!!) нулю)