Товарищи, пользуемся формулами! Верхняя панель – Вставка – Формула.​

Для удобства советую пользоваться LaTeX сокращениями через обратный slash “ \ “,

полный список доступных сокращений: Google Docs Equation Editor Shortcuts

Также есть удобное LaTeX расширение, во много раз упрощающее пользование формулами: Auto-LaTeX Equations - Google Workspace Marketplace

​

***вместо \bar советую использовать \overline

***вместо “ * ” используйте \cdot​

***весь текст Arial 12 кегль.

Тест литвиновой

Вопросы литвиновой

Теория mathprofi

Тест

1.Пусть и Найти

Свойства (мат ожидание)

1.​

2.​

3.​ Если и независимы, то

типо и

2.Пусть . Найдите

Дисперсия

Свойства (дисперсия)

1.​

2.​

3.​ Если и независимы, то

4.​

5.​

Свойства ковариации (если ковариация не равна 0, то величины зависимы, иначе независимы):

​= 1 2ξ + 1 2 η + (1 2 + 2 1)(ξ, η), где – дисперсия

6. ξ, η − независимые → (ξ, η) = 0

​(ξ, η) = (ξ · η) = ξ · η = ξ · η − ξ · η = 0

Применим свойство:

Применим свойство ковариации:

3.Пусть . Найдите

Свойства (ковариация)

​= 1 2ξ + 1 2 η + (1 2 + 2 1)(ξ, η), где – дисперсия

6. ξ, η − независимые → (ξ, η) = 0

​(ξ, η) = (ξ · η) = ξ · η = ξ · η − ξ · η = 0

Решение:

4.Пусть . Найдите

Корреляция

Решение

5.Пусть случайная величина . Найдите

Решение

Из исходных данных получаем, что и

Подставим эти значения в формулу:

Подставив граничные значения, получаем, что

далее нужна таблица значений стандартного нормального распределения. Ответ: 0.819.

6. Пусть случайная величина имеет стандартное нормальное распределение. Чему

равна точка , для которой вероятность

Решение

Есть формула:

7. Пусть случайная величина имеет -распределение с тремя степенями свободы. Чему

равна точка , для которой вероятность

По правилу симметричности:

Согласно таблице -распределения с тремя степенями работы квантиль примерно равен

3.182

8.Пусть – независимые стандартные нормальные величины. Какое

распределение имеет случайная величина ?

Если величины являются стандартными и независимыми, тогда они принадлежать распределению Фишера.

Если , то имеет распределение с одной степенью свободы

Если и независимы, то имеет распределение с двумя степенями

свободы

Если и , и они независимы, то отношение имеет распределение

- распределение Фишера с параметрами

Таким образом, искомая величина имеет распределение

9. Пусть – независимые стандартные нормальные величины. Найдите

вероятность

КРЧ КАКАЯ ТО ХУЙНЯ​

10. Пусть случайный вектор имеет ковариационную матрицу

. Найдите

11. Пусть случайный вектор имеет ковариационную матрицу .

Найдите

ковариационная матрица имеет вид:​

, где cov[X,X] = D[X], cov[Y,Y] = D[Y], cov[Z,Z] = D[Z]

Уберем константу (+1) так как она не влияет на результат

Воспользуемся свойством линейности ковариации, упростим выражение, затем по таблице ковариации узнаем значение соответствующих ковариаций:

12. Пусть задана регрессионная модель со следующими наблюдениями. Чему

равна МНК-оценка параметра ?

Наблюдения:

в расчетах я ошибся, но формулы вроде те, главное следить, чтобы корреляция была от -1 до

1

13. Пусть задана регрессионная модель со следующими наблюдениями. Чему

равен вектор МНК-прогнозов (макс максбетов) ?

Наблюдения:

наблюдениями. Чему равна сумма квадратов МНК-остатков ?

Наблюдения:

– МНК-оценка

Для применения формулы выше, создаем матрицу-регрессор:

ипо формуле считаем МНК-оценку. Затем подставляем в первую формулу и получаем ответ.

15.Пусть задана регрессионная модель со следующими наблюдениями. Чему равен коэффициент детерминации ?

Наблюдения:

TSS - общая сумма квадратов, рассчитывается как:

(В 16 задании алгоритм нахождения)

16.Пусть задана регрессионная модель (причем

) со следующими наблюдениями. Чему равна несмещенная оценка параметра ?

Наблюдения:

значит независимые одинаково распределённые случайные величины

— сумма квадратов остатков (Residual Sum of Squares)

n - количество наблюдений (в нашем случае 5, количество строк)

p - количество оцененных параметров (включая свободный член ) (в нашем случае 3, количество столбцов).

Чтобы найти , сначала нужно оценить параметры модели ( ​) с использованием метода наименьших квадратов.

После нахождения ​, остатки:

( - матрицы, после вычитания получим матрицу столбец или строку)

Найдем RSS:​

17.Пусть задана регрессионная модель (причем

). Дана матрица . Чему равна оценка дисперсии

?

18. Пусть задана модель линейной регрессии , в которой случайный ошибки удовлетворяют условиям при .

Рассматривается оценка неизвестного параметра : . Чему равно математическое ожидание оценки ?

19. Пусть задана модель линейной регрессии , в которой случайный ошибки удовлетворяют условиям при .

Рассматривается оценка неизвестного параметра : . Чему равна дисперсия оценки ?

20. Рассматривается модель при .

При каких значениях несмещенная оценка имеет наименьшую дисперсию?

Ответ:

21. Рассматривается модель при .

При каком условии на параметры оценка окажется несмещенной?

22.Пусть задана регрессионная модель (причем

). Пусть и .

Постройте 95% доверительный интервал для параметра .

23.Пусть задана регрессионная модель (причем

). Пусть и .

Постройте 95% доверительный интервал для .

24. Рассматривается модель регрессии , в которой ошибки независимы и имеют нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием и дисперсией . Пусть и . Постройте 95% двусторонний

симметричный по вероятность доверительный интервал для параметра .

25. Оценивается зависимость уровня заработной платы работника (wage) от уровня образования (educ), общего стажа (exper) и числа лет работы у текущего работодателя

(tenure) в виде линейной регрессии , в которой ошибки независимы и имеют нормальной распределение с нулевым математическим ожиданием и дисперсией . Число наблюдений . В таблице ниже приведены результаты оценивания. На уровне значимости 5% укажите, какие из переменных (educ, exper, tenure) оказывают значимое влияние на уровень заработной платы работника.

Таблица: