Билеты / Билет ДИУ 2020 1
.pdfНАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ЯДЕРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИФИ»
Кафедра высшей математики
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 1
по курсу: «Дифференциальные иинтегральные уравнения»
лекторы: Горячев А.П, ИвановаТ.М. поток: Б18–201-204, 211, 301, 302, С18–201, 202
|
x |
= 2x +3y |
1. Для линейной системы |
|
|
y = 3x +2 y |
||
а. классифицировать нулевую точку покоя (с обоснованием по корням); б. исследовать ее на устойчивость (исследование должно содержать формулировку теоремы, описывающей этот случай);
в. нарисовать фазовый портрет с объяснением наличия на нем прямолинейных траекторий и обоснованием формы криволинейных траекторий (вывести);
г. объяснить направление движения точек по фазовым траекториям при увеличении t.
2.а. составить (исходя из геометрической интерпретации интегральной поверхности) линейное уравнение в частных производных, которому удовлетворяет цилиндрическая поверхность с образующей, параллельной вектору (1;−1;1). Объяснить, как оно получено.
б. найти общее решение этого уравнения;
в. выделить цилиндрическую поверхность, проходящую через кривую Γ: x + y + z = 0 .
x2 + xy + y2 =1
Будет ли решение единственным? Почему?
3.Вещественное евклидово пространство. Непрерывность и счетная дистрибутивность скалярного произведения (с доказательством).
4. |
Вывести неравенство Бесселя для ортогональной системы {einx }+∞ |
в Q0L2 [−π,π]. |
||
|
|
|
n=−∞ |
|
5. |
Функцию f (x)= x2 |
|
|
|
|
а. разложить в ряд Фурье на отрезке [0,2π]: |
f (x) a0 |
∞ |
|
|
+∑(an cosnx +bn sin nx); |
|||
|
|
2 |
n=1 |
|
б. построить график функции f (x) и график суммы ряда (один под другим);
в. обосновать характер сходимости (обоснование должно содержать формулировку теоремы, в
которой требования на функцию изложены словесно, а не значками);
∞
г. нарисовать график функции g (x)= ∑bn sin nx. Объяснить, как он получен.
n=1
26.06.2020