Вопросы по рядам горячева 4 сем
.pdfВопросы к экзамену по разделу «Ряды и преобразование Фурье» для групп
Б20–201, Б20–202, Б20–203, Б20–204, Б20–205, Б20–211, Б20–215, Б20–301, Б20–302, Б20–312, С20–201 (2021/22 уч. г.)
1.Линейные нормированные пространства, примеры. Последовательности и ряды в линейных нормированных пространствах. Единственность предела и ограниченность сходящейся последовательности.
2.Линейные нормированные пространства, примеры. Последовательности и ряды в линейных нормированных пространствах. Арифметические свойства сходящихся последовательностей. Непрерывность нормы.
3.Линейно независимые системы в линейных нормированных пространствах. Базис бесконечномерного линейного нормированного пространства. Линейная независимость элементов базиса.
4.Фундаментальные последовательности в линейных нормированных пространствах. Фундаментальность сходящейся последовательности.
5.Полное линейное нормированное пространство (банахово пространство). Пространства C[a,b] и C*[a,b] , их полнота.
6.Евклидово пространство (вещественное и комплексное). Неравенство Коши– Буняковского и норма в евклидовом пространстве. Последовательности и ряды в евклидовых пространствах. Непрерывность и счётная дистрибутивность скалярного произведения.
7.Ортогональность в евклидовых пространствах. Ортогональные и ортонормированные системы. Линейная независимость элементов ортогональной системы.
8.Ортогональные и ортонормированные системы в евклидовых пространствах. Ортогонализация по Шмидту. Примеры ортогональных и ортономированных систем.
9.Ряды Фурье в евклидовых пространствах по ортогональным и ортонормированным системам, единственность разложения в ряд Фурье. Коэффициенты Фурье. Примеры.
10.Минимальное свойство коэффициентов Фурье по ортонормированным системам. Формула уклонения. Неравенства Бесселя для ортогональных и ортонормированных систем. Примеры.
11.Замкнутые системы в линейных нормированных и евклидовых пространствах. Ортогональные и ортонормированные базисы в евклидовых пространствах. Критерии ортонормированного базиса.
12.Равенство Парсеваля и обобщённое равенство Парсеваля для ортогонального и ортонормированного базиса. Полнота ортогонального и ортонормированного базиса. Почленное интегрирование ряда Фурье по ортонормированному базису в Q0 L2[a,b] .
13.Тригонометрические ряды Фурье. Коэффициенты Фурье. Вспомогательные утверждения для интегралов от периодических, чётных либо нечётных функций.
14.Выражение частной суммы тригонометрического ряда Фурье через ядро Дирихле. Лемма Римана.
15.Теорема о поточечной сходимости тригонометрического ряда Фурье.
16.Теорема о равномерной сходимости тригонометрического ряда Фурье.
17.Почленное дифференцирование тригонометрического ряда Фурье. Скорость убывания коэффициентов Фурье.
18.Суммы Фейера, ядро Фейера. Свойства ядра Фейера. Теорема о равномерной сходимости сумм Фейера.
19.Замкнутость системы 1, cos nx,sin nx n 1 в пространствах C*[ , ] и C*L2[ , ] .
20.Базисность системы 1, cos nx,sin nx n 1 в Q0 L2[ , ] . Равенство Парсеваля.
21.Базисность систем cos nx n 0 и sin nx n 1 в Q0 L2[0, ] Равенства Парсеваля.
22. |
Базисность системы einx |
|
в Q0 L2 |
[ , ] . Равенство Парсеваля. |
|
n |
|||||
|
|
|
|
23.Интеграл Фурье. Представление регулярной функции интегралом Фурье.
24.Преобразование Фурье. Косинус-преобразование Фурье и синуспреобразование Фурье.
25.Свойства преобразования Фурье: его линейность и ограниченность, дифференцирование оригинала и убывание образа.
26.Свойства преобразования Фурье: его линейность и ограниченность, дифференцирование образа.
27.Свёртка функций: её непрерывность, ограниченность и абсолютная интегрируемость.
28.Свёртка функций: её коммутативность. Ассоциативность свёртки (без доказательства). Преобразование Фурье свёртки.